Để giải bài toán này, chúng ta có thể đặt:

- Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể là \( t_1 \) (giờ).
- Gọi thời gian vòi II chảy đầy bể là \( t_2 \) (giờ).

Từ thông tin đã cho, ta biết rằng:

1. Hai vòi cùng chảy vào bể đầy trong 4 giờ. Từ đó, ta có:
\[
\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}
\]

2. Vòi I chảy trong 1 giờ, rồi vòi II cùng chảy trong 3 giờ nữa để được \( \frac{5}{6} \) bể. Ta có:
\[
\frac{1}{t_1} \cdot 1 + \left( \frac{1}{t_2} \cdot 3 \right) = \frac{5}{6}
\]
Sắp xếp lại:
\[
\frac{1}{t_1} + \frac{3}{t_2} = \frac{5}{6}
\]

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình:
1. \( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \)
2. \( \frac{1}{t_1} + \frac{3}{t_2} = \frac{5}{6} \)

Giải hệ phương trình này:

Trừ phương trình (1) từ phương trình (2):
\[
\left( \frac{3}{t_2} - \frac{1}{t_2} \right) = \frac{5}{6} - \frac{1}{4}
\]
\[
\frac{2}{t_2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{12} = \frac{5}{6} - \frac{2}{8} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}
\]
\[
\frac{2}{t_2} = \frac{7}{12} \Rightarrow t_2 = \frac{24}{7} \approx 3.43 \text{ giờ}
\]

Thay \( t_2 \) vào phương trình (1):
\[
\frac{1}{t_1} + \frac{7}{24} = \frac{1}{4}
\]
Tính \( \frac{1}{t_1} \):
\[
\frac{1}{t_1} = \frac{1}{4} - \frac{7}{24}
\]
Đổi mẫu:
\[
\frac{1}{t_1} = \frac{6}{24} - \frac{7}{24} = -\frac{1}{24}
\]
Từ kết quả trên, ta tìm được \( t_1 = 12 \) giờ.

Vậy thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể là:
- Vòi I: 12 giờ
- Vòi II: 6 giờ.

**Đáp số**: 12 giờ và 6 giờ.