Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x(x+y+z) = -5 \\
y(x+y+z) = 9 \\
(x+y+z) z = 5
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ đặt \( S = x + y + z \). Thay \( S \) vào từng phương trình, chúng ta có:

1. \( xS = -5 \)
2. \( yS = 9 \)
3. \( Sz = 5 \)

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\[
S = \frac{-5}{x} \quad \text{(1)}
\]

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
S = \frac{9}{y} \quad \text{(2)}
\]

Từ phương trình thứ ba, ta có:

\[
S = \frac{5}{z} \quad \text{(3)}
\]

Từ (1) và (2), ta có:

\[
\frac{-5}{x} = \frac{9}{y} \implies -5y = 9x \implies 9x + 5y = 0 \quad \text{(4)}
\]

Từ (2) và (3), ta có:

\[
\frac{9}{y} = \frac{5}{z} \implies 9z = 5y \implies 5y - 9z = 0 \quad \text{(5)}
\]

Từ (1) và (3), ta có:

\[
\frac{-5}{x} = \frac{5}{z} \implies -5z = 5x \implies x + z = 0 \implies z = -x \quad \text{(6)}
\]

Từ (6), ta thay \( z = -x \) vào (4) và (5):

Thay vào (4):

\[
9x + 5y = 0 \quad \Rightarrow \quad 5y = -9x \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{9}{5}x
\]

Thay vào (5):

\[
5y - 9(-x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 5y + 9x = 0
\]

Thay giá trị của \( y \) từ trên vào:

\[
5\left(-\frac{9}{5}x\right) + 9x = 0 \quad \Rightarrow \quad -9x + 9x = 0,
\]

Điều này đúng với mọi giá trị của \( x \), có nghĩa là:

Chúng ta có thể chọn một giá trị cho \( x \). Giả sử \( x = 1 \):

\[
y = -\frac{9}{5}(1) = -\frac{9}{5}, \quad z = -1.
\]

Tính \( S \):

\[
S = x + y + z = 1 - \frac{9}{5} - 1 = -\frac{9}{5}.
\]

Giải các phương trình theo \( S \):

- Với \( x = 1 \):

\[
1(x+y+z) = -5 \implies 1 \cdot -\frac{9}{5} = -5 \quad \text{(không đúng)}.
\]

Thay đổi giá trị của \( x \) để tìm nghiệm thực tế.

Hãy chọn \( x = -1 \):

\[
y = \frac{9}{5}, \quad z = 1.
\]

Trong trường hợp này:

\[
x + y + z = -1 + \frac{9}{5} + 1 = \frac{4}{5}.
\]

Thay trị \( S \) vào:

Từ các phương trình chúng ta sẽ tìm giá trị hợp cùa \( x, y, z \).

Do đó, tiếp tục thử nghiệm các giá trị khác hoặc tìm giải pháp hệ bằng cách sử dụng đại số sẽ cho ra giá trị chính xác cho \( x,y,z \).

Giải ra sẽ xác định được \( x, y, z \) trong \( \mathbb{Q} \).