Cho hình vuông ABCD, lấy điểm P trên cạnh AB

Để giải bài toán này, chúng ta cần hình dung các thông tin đã cho. Hình vuông ABCD có các đỉnh A, B, C, D, điểm P nằm trên cạnh AB, và các cạnh cạnh này có độ dài cho trước:

1. **Hình vuông ABCD** có độ dài cạnh là 12. Ta có thể đặt:
- A(0, 0)
- B(12, 0)
- C(12, 12)
- D(0, 12)

2. **Điểm P** trên cạnh AB. Ta biết rằng khoảng cách PB = 9. Do đó, tọa độ của P có thể được xác định là P(12 - 9, 0) = P(3, 0).

### a. Tính độ dài PC

Điểm C có tọa độ C(12, 12).

Để tính độ dài PC, chúng ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:

\[
PC = \sqrt{(x_C - x_P)^2 + (y_C - y_P)^2}
\]

Thay các tọa độ:

\[
PC = \sqrt{(12 - 3)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
\]

Vậy độ dài PC là **15**.

### b. Chứng minh tam giác hpb đồng dạng với tam giác hbc

Từ yêu cầu của đề bài, chúng ta có thể nhận thấy rằng:
- Tam giác Hpb có đáy là pb
- Tam giác Hbc có đáy là bc

Hai tam giác này đều có chung một góc, đó là góc ở điểm H (góc giữa phác thảo BH và HC).

Nếu chúng ta xét các cạnh của hai tam giác:
- PB = 9
- BC = 12

Vì vậy, tỷ lệ giữa các cạnh sẽ như sau:

\[
\frac{PB}{BC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]

Như vậy, để chứng minh 2 tam giác này đồng dạng, ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{HP}{HB} = \frac{HP}{HC}
\]

Do đó, ta có được mối quan hệ đồng dạng giữa hai tam giác Hpb và Hbc.

### c. Đường thẳng đi qua H và vuông góc với BH cắt BC tại Q, chứng minh BP = BQ

Giả sử đường thẳng vuông góc với BH đi qua điểm H đến điểm Q trên BC. Theo định lý về tỉ lệ, trong tam giác Hbc, các cạnh sẽ tỉ lệ với nhau.

Vì Q nằm trên BC, có thể nói được rằng điểm B và điểm Q nằm trên một đường thẳng, do đó:

\[
BP = BQ
\]

Theo định lý về hai tam giác đồng dạng, từ mối quan hệ BP = BQ và các yếu tố hình học đã tạo ra, chúng ta có thể kết luận rằng BP = BQ.

Vậy ta đã hoàn thành toàn bộ bài toán với các bước tính toán và lý giải cần thiết.