Để giải bất đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Giải bất đẳng thức \((x - 1)^2 + x^2 \leq (x + 1)^2 + (x + 2)^2\)

1. Tính từng biểu thức:
- Bên trái:
\[
(x - 1)^2 + x^2 = (x^2 - 2x + 1) + x^2 = 2x^2 - 2x + 1
\]

- Bên phải:
\[
(x + 1)^2 + (x + 2)^2 = (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 6x + 5
\]

2. Giờ ta có bất đẳng thức:
\[
2x^2 - 2x + 1 \leq 2x^2 + 6x + 5
\]

3. Đưa tất cả về một bên:
\[
2x^2 - 2x + 1 - 2x^2 - 6x - 5 \leq 0
\]
\[
-8x - 4 \leq 0
\]
\[
-8x \leq 4
\]
\[
x \geq -\frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của bđt này là:
\[
x \geq -\frac{1}{2}
\]

---

### b) Giải bất đẳng thức \((x^2 + 1)(x - 6) < (x - 2)^3\)

1. Tính các biểu thức:
- Bên trái:
\[
(x^2 + 1)(x - 6) = x^3 - 6x^2 + x - 6
\]

- Bên phải:
\[
(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8
\]

2. Thiết lập bất đẳng thức:
\[
x^3 - 6x^2 + x - 6 < x^3 - 6x^2 + 12x - 8
\]

3. Rút gọn bất đẳng thức:
\[
x - 6 < 12x - 8
\]
\[
-6 + 8 < 12x - x
\]
\[
2 < 11x
\]
\[
x > \frac{2}{11}
\]

Vậy nghiệm của bđt này là:
\[
x > \frac{2}{11}
\]

---

### Kết luận:

a) Nghiệm của bất đẳng thức \((x - 1)^2 + x^2 \leq (x + 1)^2 + (x + 2)^2\) là \(x \geq -\frac{1}{2}\).

b) Nghiệm của bất đẳng thức \((x^2 + 1)(x - 6) < (x - 2)^3\) là \(x > \frac{2}{11}\).