Để tìm \( n \) thuộc \( N \) sao cho \( 8n + 1 \) chia hết cho \( 2n - 1 \), ta cần kiểm tra điều kiện:

\[
8n + 1 \equiv 0 \mod (2n - 1)
\]

Điều này có thể được viết lại thành:

\[
8n + 1 \equiv 0 \mod (2n - 1)
\]

Tức là:

\[
8n + 1 = k(2n - 1)
\]

với \( k \) là một số nguyên.

Ta có thể sắp xếp lại phương trình này:

\[
8n + 1 = 2kn - k \implies 8n + k = 2kn \implies 8n + k = (2k - 8)n
\]

Ta cần giải phương trình trên cho \( n \):

\[
n(2k - 8) = k \implies n = \frac{k}{2k - 8}
\]

Ta muốn \( n \) phải là số nguyên, do đó \( k \) phải được chọn sao cho \( 2k - 8 \) chia hết cho \( k \).

Ta tìm các giá trị nhỏ hơn cho \( k \):

1. Với \( k = 8 \):

\[
n = \frac{8}{2 \times 8 - 8} = \frac{8}{8} = 1
\]

2. Với \( k = 9 \):

\[
n = \frac{9}{2 \times 9 - 8} = \frac{9}{10} \quad (không thuộc N)
\]

3. Với \( k = 10 \):

\[
n = \frac{10}{2 \times 10 - 8} = \frac{10}{12} \quad (không thuộc N)
\]

4. Với \( k = 11 \):

\[
n = \frac{11}{2 \times 11 - 8} = \frac{11}{14} \quad (không thuộc N)
\]

5. Với \( k = 12 \):

\[
n = \frac{12}{2 \times 12 - 8} = \frac{12}{16} \quad (không thuộc N)
\]

6. Với \( k = 14 \):

\[
n = \frac{14}{2 \times 14 - 8} = \frac{14}{20} \quad (không thuộc N)
\]

Tiếp tục thử cho các giá trị khác cho \( k \):

- Với các giá trị \( k = 0,1,2,3,4,...\) ta chưa tìm ra giá trị nào khác.

Cuối cùng ta kết luận rằng \( n = 1 \) là nghiệm duy nhất thuộc \( N \) thoả mãn điều kiện đề bài.

Vậy nên, giá trị duy nhất của \( n \) thỏa mãn điều kiện là:

\[
\boxed{1}
\]