Để chứng minh các bài toán trên, ta sẽ sử dụng tính chất tổng của các góc trong tam giác.

### 1. Chứng minh

#### a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Giả sử \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \) với \( AB \) là cạnh huyền. Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Ta cần chứng minh rằng \( AM = \frac{1}{2} AB \).

- Xét tam giác \( AMC \) và \( AMB \):
- Ta có \( AM \) là đường trung tuyến.
- Góc \( AMC \) + góc \( AMB \) + góc \( A \) = 180° (tổng các góc trong tam giác).

Vì \( A \) là góc vuông, nên góc \( A = 90° \). Do đó, góc \( AMC \) + góc \( AMB = 90° \).

Nếu ta áp dụng định lý về trung tuyến trong tam giác vuông, ta có:

\[
AM = \frac{1}{2} AB.
\]

#### b) Tam giác \( ABC \) có đường trung tuyến \( AM \) bằng nửa \( BC \) thì vuông tại \( A \).
- Giả sử \( AM = \frac{1}{2} BC \). Ta sẽ áp dụng Định lý đường trung tuyến.

Theo tính chất của đường trung tuyến, nếu một đường trung tuyến của tam giác bằng một nửa cạnh đối diện, thì tam giác đó là tam giác vuông.

- Xét tam giác \( ABC \):
- Ta có \( AM = \frac{1}{2} BC \), vậy theo định lý đường trung tuyến, tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).

### 2. Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật

#### a) Chứng minh các đường chéo bằng nhau.
- Trong hình chữ nhật \( ABCD \), ta có \( AC \) và \( BD \) là các đường chéo. Ta cần chứng minh rằng \( AC = BD \).

- Ta có:
- Tam giác \( ABC \) và \( ABD \) là hai tam giác vuông.
- Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \) (là trung điểm).

- Áp dụng định lý Py-ta-go cho hai tam giác nêu trên, ta có:
\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \quad \text{và} \quad BD = \sqrt{AB^2 + BC^2}.
\]

=> Suy ra \( AC = BD \).

#### b) Chứng minh thêm các ý khác (nếu có).
- Có thể sử dụng các tính chất tương tự hoặc định lý để chứng minh cho các trường hợp khác trong hình chữ nhật.

Đó là các hướng dẫn để chứng minh bài toán dựa trên tính chất tổng các góc trong tam giác và cấu trúc hình học của hình chữ nhật.