Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x^2 + 3y^2 - 2xy + 4y + 5

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B = x^2 + 3y^2 - 2xy + 4y + 5 \), ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
B = x^2 - 2xy + 3y^2 + 4y + 5
\]

Ta nhóm lại các hạng tử liên quan đến \( x \):

\[
B = (x^2 - 2xy + y^2) + 2y^2 + 4y + 5
\]

Phần trong ngoặc là một biểu thức có thể viết lại dưới dạng bình phương:

\[
x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2
\]

Vậy nên ta có:

\[
B = (x - y)^2 + 2y^2 + 4y + 5
\]

Bây giờ, để tìm giá trị nhỏ nhất của \( B \), ta cần tập trung vào phần \( 2y^2 + 4y \). Ta có thể hoàn thành bình phương cho phần này:

\[
2y^2 + 4y = 2(y^2 + 2y) = 2((y + 1)^2 - 1) = 2(y + 1)^2 - 2
\]

Thay vào biểu thức \( B \):

\[
B = (x - y)^2 + 2(y + 1)^2 - 2 + 5
\]
\[
B = (x - y)^2 + 2(y + 1)^2 + 3
\]

Bây giờ, để \( B \) đạt giá trị nhỏ nhất, cả hai phần \( (x - y)^2 \) và \( 2(y + 1)^2 \) phải bằng 0. Điều này xảy ra khi:

1. \( x - y = 0 \) tức là \( x = y \)
2. \( y + 1 = 0 \) tức là \( y = -1 \)

Thay \( y = -1 \) vào phương trình \( x = y \), ta có \( x = -1 \).

Thay \( x = -1 \) và \( y = -1 \) vào biểu thức \( B \):

\[
B = (-1)^2 + 3(-1)^2 - 2(-1)(-1) + 4(-1) + 5
\]
\[
= 1 + 3 - 2 - 4 + 5
\]
\[
= 1 + 3 - 2 - 4 + 5 = 3
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B \) là \(\boxed{3}\).