Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần một như sau:

### a) Chứng minh \( D, E \) là trung điểm của \( AB, AC \)

1. **Xác định tọa độ**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(0, b) \).
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên:
\[
M\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

2. **Hình chiếu của \( M \) trên \( AB \)**:
- Phương trình của \( AB \) là \( y = 0 \).
- Hình chiếu \( D \) của \( M \) trên \( AB \) là \( D\left(\frac{a}{2}, 0\right) \).

3. **Hình chiếu của \( M \) trên \( AC \)**:
- Phương trình của \( AC \) là \( y = \frac{b}{a}x \).
- Hình chiếu \( E \) của \( M \) trên \( AC \) được tính bằng cách tìm điểm có cùng hoành độ với \( M \) và giản ước đến đường thẳng \( AC \):
\[
E\left(0, \frac{b}{2}\right)
\]

4. **Kiểm tra tính chất trung điểm**:
- Đối với \( D \):
\[
\frac{AB + DA}{2} = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2}
\]
- Đối với \( E \):
\[
\frac{AC + AE}{2} = \frac{0 + b}{2} = \frac{b}{2}
\]

Do đó, \( D, E \) là trung điểm của \( AB, AC \).

### b) Chứng minh \( BDEM \) là hình bình hành

1. **Chứng minh các cạnh**:
- \( BD \parallel EM \) và \( DE \parallel BM \).

2. **Các đoạn thẳng**:
- \( BD = EM \): Do \( D \) và \( E \) là các hình chiếu, nên chiều dài \( BD \) và \( EM \) bằng nhau.
- \( DE = BM \): Tương tự, chiều dài cũng bằng nhau.

Do đó, \( BDEM \) là hình bình hành.

### c) Lấy \( N \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( NE \)

1. **Xác định điểm \( N \)**:
- Giả sử \( N(x, y) \) và vì \( M = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \) nên
\[
M = \frac{N + E}{2}
\]
- Suy ra hệ phương trình để tìm \( N \).

2. **Hạ \( EK \perp BC \)**:
- Vẽ đường cao từ \( E \) xuống \( BC \) để xác định điểm \( K \).

3. **Chứng minh \( AK \perp KN \)**:
- Sử dụng tính chất của hình bình hành và các góc vuông để hoàn thành chứng minh.

Đây là tổng quan cách giải quyết bài toán. Nếu bạn cần giải cụ thể từng bước tính toán hoặc thêm thông tin nào đó, vui lòng cho biết!