Để tính giá trị của biểu thức

\[
A = \left( 1 + \frac{1}{\tan^2 15^\circ} \right) \cdot \sin^2 15^\circ - \tan 35^\circ \cdot \tan 55^\circ,
\]

trước tiên, ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác:

1. \(\tan 35^\circ \cdot \tan 55^\circ = 1\) (bởi vì \(35^\circ + 55^\circ = 90^\circ\)).
2. Sử dụng công thức \(\tan 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}\).

Tiếp theo, ta biến đổi biểu thức:

### Bước 1: Tính phần đầu tiên
\[
1 + \frac{1}{\tan^2 15^\circ} = 1 + \frac{\cos^2 15^\circ}{\sin^2 15^\circ} = \frac{\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ}{\sin^2 15^\circ} = \frac{1}{\sin^2 15^\circ}
\]

### Bước 2: Tính biểu thức
Khi thay vào biểu thức \(A\):

\[
A = \left( \frac{1}{\sin^2 15^\circ} \right) \cdot \sin^2 15^\circ - 1 = 1 - 1 = 0
\]

### Kết quả:
\(A = 0\)