Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm bậc hai \( f(x) = x^2 + 2x + 2 \), ta có thể sử dụng công thức tính đỉnh của parabola. Hàm này có dạng chuẩn là \( f(x) = ax^2 + bx + c \), với \( a = 1 \), \( b = 2 \), và \( c = 2 \).

Giá trị x tại đỉnh của hàm bậc hai được tính bằng công thức:
\[
x_{min} = -\frac{b}{2a}
\]
Thay vào công thức, ta có:
\[
x_{min} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị của hàm tại \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1
\]

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm \( f(x) = x^2 + 2x + 2 \) là 1.

**Kết luận:** Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của \( x^2 + 2x + 2 \) là \( 1 \).