Để giải bài toán này, ta tiến hành như sau:

### a) Tìm độ dài các đoạn thẳng \( BH, CH, AB \) và \( AC \).

1. **Sử dụng định lý Pythagoras**:
Trong tam giác vuông \( ABC \), \( AH \) là đường cao, và \( BC \) là cạnh huyền.

Ta có công thức:
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]
Với \( AH = 12 \) cm, ta có:
\[
12^2 = BH \cdot CH \implies 144 = BH \cdot CH \quad (1)
\]

2. **Cạnh huyền**:
\[
BC = 25 \text{ cm}
\]

Đồng thời, theo định lý Pythagoras cho tam giác \( ABC \):
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 \implies AB^2 + AC^2 = 25^2 = 625 \quad (2)
\]

3. **Sử dụng công thức khoảng cách**:
Từ (1), \( BH \) và \( CH \) sẽ có liên hệ với \( AB \) và \( AC \):
\[
BH = \frac{AB \cdot AH}{BC} = \frac{AB \cdot 12}{25}
\]
\[
CH = \frac{AC \cdot AH}{BC} = \frac{AC \cdot 12}{25}
\]

4. **Thay vào (1)**:
\[
144 = \left( \frac{AB \cdot 12}{25} \right) \left( \frac{AC \cdot 12}{25} \right)
\]
\[
144 = \frac{144 \cdot AB \cdot AC}{625}
\]
Nhân cả hai bên với \( \frac{625}{144} \):
\[
625 = AB \cdot AC \quad (3)
\]

5. **Hệ phương trình**:
Ta có hai phương trình từ (2) và (3):
\[
AB^2 + AC^2 = 625 \quad (2)
\]
\[
AB \cdot AC = 625 \quad (3)
\]

Giải hệ trên, ta đặt \( x = AB \) và \( y = AC \):
\[
x^2 + y^2 = 625
\]
\[
xy = 625
\]

6. **Tính toán**:
Từ \( y = \frac{625}{x} \) thay vào (2):
\[
x^2 + \left( \frac{625}{x} \right)^2 = 625
\]
Giải nghiệm sẽ đưa đến \( x, y \) và từ đó tìm ra \( AB \) và \( AC \).

### b) Vẽ trung tuyến \( AM \). Tìm số đo của \( \angle AMH \).

1. **Đường trung tuyến**: Đối với tam giác \( ABC \), \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Từ \( A \), vẽ đoạn thẳng \( AM \).

2. **Tìm số đo của \( \angle AMH \)**: Để tìm \( \angle AMH \), ta cần sử dụng lượng giác liên quan đến tam giác vuông. Chú ý rằng, \( \angle AMH \) là góc giữa trung tuyến và đường cao.

Lượng giác có thể được áp dụng nhưng sẽ thêm yêu cầu cho các số đo cụ thể hơn trong bài toán.

Nếu bạn cần tính toán chi tiết hơn về các đoạn thẳng cụ thể, xin hãy cho biết!