Để tìm số hạng chứa \( x^{26} \) trong khai triển \((\frac{1}{x^4} + x^7)^n\), ta sẽ sử dụng định lý nhị thức. Kết quả của khai triển này có dạng:

\[
T_k = C_n^k \left( \frac{1}{x^4} \right)^{n-k} (x^7)^k
\]

Trong đó \( C_n^k \) là hệ số nhị thức. Ta có thể viết lại như sau:

\[
T_k = C_n^k \cdot \frac{1}{x^{4(n-k)}} \cdot x^{7k} = C_n^k \cdot x^{7k - 4(n-k)}
\]
\[
= C_n^k \cdot x^{(7 + 4)k - 4n} = C_n^k \cdot x^{11k - 4n}
\]

Ta muốn tìm số hạng có chứa \( x^{26} \), vậy ta cần giải phương trình:

\[
11k - 4n = 26
\]

Từ phương trình trên, ta có:

\[
11k = 4n + 26 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{4n + 26}{11}
\]

Để \( k \) là số nguyên, \( 4n + 26 \) phải chia hết cho 11.

Giải phương trình

\[
4n + 26 \equiv 0 \mod{11}
\]

khi đó,

\[
4n \equiv -26 \equiv -4 \equiv 7 \mod{11}
\]

Giải phương trình đồng dư:

\[
4n \equiv 7 \mod{11}
\]

Tìm số nghịch đảo của 4 modulo 11. Ta có:

\[
4 \times 3 \equiv 12 \equiv 1 \mod{11}
\]

Vậy số nghịch đảo là 3, do đó:

\[
n \equiv 3 \cdot 7 \mod{11} \equiv 21 \equiv 10 \mod{11}
\]

Vậy \( n = 11m + 10 \) với \( m \) là số nguyên không âm.

Tiếp theo, ta cần phải kiểm tra điều kiện \( C_1^{2n+1} + C_2^{2n+1} + \ldots + C_n^{2n+1} = 2^{20} - 1 \).

Với \( n = 11m + 10 \), từ đó tính \( 2n + 1 = 22m + 21 \). Hệ số nhị thức có tổng bằng \( 2^{22m + 21} \).

Giả sử \( m = 0 \):

\[
C_1^{21} + C_2^{21} + \ldots + C^{21} = 2^{21} - 1
\]

Khi \( m = 0 \), ta có \( 2^{21} - 1 = 2^{20} - 1 \) không thỏa mãn.

Tương tự với các giá trị cao hơn của \( m \) cũng sẽ không thỏa mãn.

Vì vậy, không có giá trị \( n \) nào thoả mãn cả hai điều kiện \( k \) tìm được và điều kiện tổng các hệ số nhị thức.

**Tóm lại**: Không có số hạng nào chứa \( x^{26} \) trong khai triển này với điều kiện đã cho.