Để chứng minh bất phương trình \(x^2 - x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta sẽ phân tích biểu thức này.

Thông thường, một cách để chứng minh một đa thức bậc hai luôn dương là kiểm tra xem nó có nghiệm nào hay không. Đa thức có dạng:

\[
f(x) = x^2 - x + 1
\]

Để xác định xem \(f(x)\) có thể nhận giá trị bằng 0 hay không, ta sử dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = -1\), và \(c = 1\), do đó:

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]

Vì định thức \(D < 0\), điều này có nghĩa là phương trình \(x^2 - x + 1 = 0\) không có nghiệm nào. Do đó, \(f(x)\) không bao giờ bằng 0.

Hơn nữa, hệ số \(a = 1\) của đa thức bậc hai \(f(x)\) là dương, nên đa thức này sẽ có giá trị dương với mọi giá trị của \(x\).

Kết luận, ta có thể khẳng định rằng:

\[
x^2 - x + 1 > 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}
\]

Vậy là đã chứng minh xong.