Chứng minh các hằng đẳng thức sau

Để chứng minh các hằng đẳng thức đã cho, ta sẽ lần lượt thực hiện từng hằng đẳng thức.

### a) Hằng đẳng thức :
\[
(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (ax - by)^2 + (bx + ay)^2
\]

**Chứng minh:**

Bên trái:
\[
(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2
\]

Bên phải:
\[
(ax - by)^2 + (bx + ay)^2
\]
Tính từng phần:
\[
(ax - by)^2 = a^2x^2 - 2abxy + b^2y^2
\]
\[
(bx + ay)^2 = b^2x^2 + 2abxy + a^2y^2
\]
Tổng lại:
\[
(ax - by)^2 + (bx + ay)^2 = (a^2x^2 - 2abxy + b^2y^2) + (b^2x^2 + 2abxy + a^2y^2) = a^2x^2 + b^2x^2 + a^2y^2 + b^2y^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)
\]

Do đó:
\[
(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (ax - by)^2 + (bx + ay)^2
\]

### b) Hằng đẳng thức:
\[
a^3 - b^3 + ab(a - b) = (a - b)(a + b)^2
\]

**Chứng minh:**

Bên trái có thể biến đổi như sau:
\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]
Vì vậy, ta có:
\[
a^3 - b^3 + ab(a - b) = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b) = (a - b)(a^2 + ab + b^2 + ab) = (a - b)(a^2 + 2ab + b^2)
\]

Bên phải:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
Do đó:
\[
(a - b)(a + b)^2 = (a - b)(a^2 + 2ab + b^2)
\]
Vậy:
\[
a^3 - b^3 + ab(a - b) = (a - b)(a + b)^2
\]

### c) Hằng đẳng thức:
\[
(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)
\]

**Chứng minh:**

Sử dụng công thức hiệu khối:
\[
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - xz - yz)
\]
Với \( x = a - b, y = b - c, z = c - a \). Ta thấy \( x + y + z = 0 \) nên ta áp dụng công thức:
\[
(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)
\]

Như vậy, tất cả các hằng đẳng thức đã được chứng minh:
1. \( (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (ax - by)^2 + (bx + ay)^2 \)
2. \( a^3 - b^3 + ab(a - b) = (a - b)(a + b)^2 \)
3. \( (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a) \)