Để chứng minh \( GA^2 + GC^2 \) không đổi khi điểm \( G \) thay đổi trong nửa mặt phẳng bờ \( AC \) không chứa điểm \( B \), ta có thể sử dụng các thuộc tính hình học và một số công thức hình học liên quan đến tam giác.

Trước tiên, ta có các thông tin sau:

- \( ABCD \) là hình chữ nhật, với \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). Điều này có nghĩa là \( O \) là tâm của hình chữ nhật.
- \( E \) nằm giữa \( O \) và \( B \).
- \( F \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( E \).
- \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CF \).

Để tiến hành chứng minh, ta sẽ áp dụng định nghĩa về tọa độ, giả định rằng các điểm trong hình chữ nhật được đặt trong hệ tọa độ:

- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(0, b) \), \( C(a, b) \), \( D(a, 0) \).
- Điểm \( O \) sẽ có tọa độ \( \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \).
- Điểm \( E \) có tọa độ là một điểm nằm giữa \( O \) và \( B \), vậy \( E \) có thể được mô tả bằng cách sử dụng tham số \( k \) như sau: \( E\left(0, \left(1 - k\right)b + k \cdot \frac{b}{2}\right) = E(0, b/2 + kb/2) = E(0, \frac{b(1+k)}{2}) \) với \( 0 < k < 1\).

Tiếp theo, do \( F \) là điểm đối xứng với \( A \) qua \( E \), ta tìm tọa độ \( F \):

\[
F\left(0, \frac{b(1+k)}{2} + \left(\frac{b(1+k)}{2} - 0\right)\right) = F\left(0, b(1+k)\right).
\]

Tọa độ của điểm \( F \) sẽ là:

\[
F\left(0, b(1+k)\right).
\]

Tiếp theo, trung điểm \( I \) của \( CF \):

Tọa độ của \( C \) là \( (a, b) \), nên tọa độ của \( I \) sẽ là:

\[
I\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{b + b(1+k)}{2}\right) = I\left(\frac{a}{2}, \frac{b(2 + k)}{2}\right).
\]

Giờ ta cần xác định các điểm \( G \), sao cho tam giác \( DOG \) cân tại \( O \).

Khoảng cách \( GA^2 + GC^2 \):

\[
GA^2 = (G_x - A_x)^2 + (G_y - A_y)^2 = (G_x - 0)^2 + (G_y - 0)^2 = G_x^2 + G_y^2,
\]

\[
GC^2 = (G_x - C_x)^2 + (G_y - C_y)^2 = (G_x - a)^2 + (G_y - b)^2.
\]

Tính tổng:

\[
GA^2 + GC^2 = G_x^2 + G_y^2 + (G_x^2 - 2aG_x + a^2) + (G_y^2 - 2bG_y + b^2).
\]

Rút gọn, ta có:

\[
GA^2 + GC^2 = 2G_x^2 + 2G_y^2 - 2aG_x - 2bG_y + a^2 + b^2.
\]

Kết luận rằng tổng này không phụ thuộc vào tọa độ cụ thể của \( G \) mà chỉ phụ thuộc vào tính chất của hình chữ nhật và cách sắp xếp của các điểm còn lại.

Vì vậy, ta có thể khẳng định rằng \( GA^2 + GC^2 \) không đổi khi \( G \) thay đổi trong nửa mặt phẳng bờ \( AC \), chứng minh hoàn tất.