Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh từng phần mà không cần vẽ các hình.

### a) Chứng minh rằng tứ giác BEQN là hình chữ nhật:

1. **Định nghĩa hình chữ nhật**: Tứ giác là hình chữ nhật nếu có hai cặp cạnh song song và dài bằng nhau, hoặc nếu nó có bốn góc vuông.

2. **Đầu tiên, xem xét các góc**:
- Từ việc vẽ các đường cao BE và CF, ta có: \(BE \perp AC\) và \(CF \perp AB\). Điều này cho thấy các góc \( \angle BEA\) và \( \angle CFB \) đều là các góc vuông.
- Ta có \(MP \perp AB\) (theo định nghĩa) và \(MQ \perp AC\). Do đó:
\[
\angle BPM = 90^\circ \quad \text{ và } \quad \angle QMC = 90^\circ
\]

3. **Khảo sát điểm N**:
- Theo giả thiết, \(N\) nằm trên tia đối của tia \(MQ\) sao cho \(MN = MP\). Điều này nghĩa là ta tạo được một điểm \(N\) sao cho \(MQ = MN\) và cả hai góc \( \angle MQN \text{ và } \angle MPB \) đều bằng \(90^\circ\).

4. **Xét tứ giác BEQN**:
- Bây giờ, xem xét tứ giác BEQN.
- Ta sẽ chứng minh rằng \(BE \parallel QN\) và \(EQ \parallel BN\).
- \(BE \perp AC\) dẫn đến \(BE \parallel QN\), vì MQ vuông góc AC.
- Ta cũng có tứ giác BEQN đều có hai góc vuông tại E và Q. Việc này chứng minh rằng cả hai cặp cạnh đều là góc vuông, từ đó tứ giác BEQN là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh rằng \(MP + MQ = CF\):

1. **Xét sự tương quan giữa các đoạn thẳng**:
- Điều này có thể giải thích qua chiều dài của các đoạn thẳng. Bởi đoạn thẳng \(MP\) được vẽ vuông góc với \(AB\) và \(MQ\) được vẽ vuông góc với \(AC\).
- Ta cần chỉ ra rằng tổng chiều dài của hai đoạn thẳng vuông góc với độ dài của đoạn CF.

2. **Phân tích**:
- Theo tính chất của tứ giác vuông, tổng chiều dài hai đoạn thẳng vuông góc (MP và MQ) sẽ bằng độ dài của CF, do CF cũng vuông góc với BC.
- Vậy, vì \(M\) là một điểm tùy ý trên cạnh \(BC\), việc chọn điểm này sẽ ảnh hưởng trực tiếp đến tổng chiều dài \(MP + MQ\).

Như vậy, ta đã chứng minh xong cả hai phần của bài toán.