Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Vẽ các đường thẳng \( d_1, d_2 \)

Các phương trình của các đường thẳng được cho như sau:

- \( d_1: y = x + 2 \) (đường thẳng này có độ dốc 1 và cắt trục y tại điểm (0,2))
- \( d_2: y = 3x + 2 \) (đường thẳng này có độ dốc 3 và cắt trục y tại điểm (0,2))

Để vẽ hai đường thẳng này trên cùng một mặt phẳng tọa độ, ta có thể lấy một số giá trị để vẽ:

1. **Đối với \( d_1: y = x + 2 \)**:
- Khi \( x = 0 \) thì \( y = 2 \) ⇒ Điểm (0, 2)
- Khi \( x = -2 \) thì \( y = 0 \) ⇒ Điểm (-2, 0)
- Khi \( x = 2 \) thì \( y = 4 \) ⇒ Điểm (2, 4)

2. **Đối với \( d_2: y = 3x + 2 \)**:
- Khi \( x = 0 \) thì \( y = 2 \) ⇒ Điểm (0, 2)
- Khi \( x = -1 \) thì \( y = -1 \) ⇒ Điểm (-1, -1)
- Khi \( x = 1 \) thì \( y = 5 \) ⇒ Điểm (1, 5)

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm, và có thể được vẽ trên cùng một hệ tọa độ.

### b) Tìm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng \( d_1, d_2 \)

Để tìm tọa độ giao điểm A, ta giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
y = x + 2 \\
y = 3x + 2
\end{cases}
\]

Khi hai phương trình bằng nhau:

\[
x + 2 = 3x + 2
\]

Giải phương trình:

\[
x + 2 - 2 = 3x \Rightarrow x = 0
\]

Thay \( x = 0 \) vào một trong hai phương trình (ví dụ \( d_1 \)):

\[
y = 0 + 2 = 2
\]

Vậy tọa độ giao điểm A là:

\[
A(0, 2)
\]

### c) Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng \( d_3 \) đi qua điểm \( A \)

Đường thẳng \( d_3 \) được cho bởi phương trình:

\[
y = (4 - m)x + 1 + m
\]

Để đường thẳng này đi qua điểm \( A(0, 2) \), ta thay \( x = 0 \) và \( y = 2 \) vào phương trình của \( d_3 \):

\[
2 = (4 - m) \cdot 0 + 1 + m
\]

Điều này dẫn đến:

\[
2 = 1 + m
\]

Giải phương trình này:

\[
m = 2 - 1 = 1
\]

### Kết luận

- Tọa độ giao điểm \( A \) của hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) là \( A(0, 2) \).
- Giá trị của tham số \( m \) để đường thẳng \( d_3 \) đi qua điểm A là \( m = 1 \).