Để tìm giá trị của \( m \) sao cho điểm \( A(1, -2) \) thuộc đường thẳng \( (m-2)x - y + m + 3 = 0 \), chúng ta sẽ thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình đường thẳng và giải phương trình tìm \( m \).

Điểm \( A(1, -2) \) có tọa độ \( x = 1 \) và \( y = -2 \). Thay vào phương trình:

\[
(m-2)(1) - (-2) + m + 3 = 0
\]

Giải biểu thức trên:

\[
(m - 2) + 2 + m + 3 = 0
\]

\[
m - 2 + 2 + m + 3 = 0
\]

\[
2m + 3 = 0
\]

Giải phương trình \( 2m + 3 = 0 \):

\[
2m = -3
\]
\[
m = -\frac{3}{2}
\]

Vậy giá trị của \( m \) để điểm \( A(1, -2) \) thuộc đường thẳng là \( m = -\frac{3}{2} \).