Cho hệ phương trình:

Hệ phương trình mà bạn đưa ra có dạng:

\[
\begin{cases}
x + ay = 1 \\
y - ax = a
\end{cases}
\]

Để giải hệ phương trình này, ta có thể thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất với \( a \neq 0 \)

Để có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0. Ma trận hệ số là:

\[
\begin{pmatrix}
1 & a \\
-a & 1
\end{pmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
D = 1 \cdot 1 - (-a) \cdot a = 1 + a^2
\]

Vì \( a^2 \geq 0 \), nên \( D \) luôn dương với mọi giá trị của \( a \). Do đó, hệ phương trình siempre có nghiệm duy nhất với mọi \( a \).

### b) Tìm \( a \) để có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) cao cho \( x < 1, y < 1 \)

Giải hệ phương trình cho \( x, y \):

Từ phương trình đầu tiên:

\[
y = \frac{1 - x}{a}
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
\frac{1 - x}{a} - ax = a
\]

Giải phương trình này sẽ cho chúng ta biểu thức cho \( x \) và \( y \). Để đảm bảo \( x < 1 \) và \( y < 1 \), áp dụng các điều kiện này trong biểu thức giải.

### c) Tìm \( a \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức khác 0. Do đó, điều kiện cần là \( a \neq 0 \).

---

### Phần 5

Cho hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + my = 4 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

### a) Giải hệ phương trình với \( m = -1 \)

Thay \( m = -1 \):

\[
\begin{cases}
x - y = 4 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

Giải hệ:

1. Từ phương trình thứ hai, ta có \( y = 2 - x \).
2. Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
x - (2 - x) = 4 \implies 2x - 2 = 4 \implies 2x = 6 \implies x = 3
\]
\[
y = 2 - 3 = -1
\]

Vậy nghiệm là \( (3, -1) \).

### b) Tìm \( m \) để \( x = 2 \)

Thay \( x = 2 \) vào phương trình đầu tiên:

\[
2 + my = 4 \implies my = 2 \implies y = \frac{2}{m}
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
2 + \frac{2}{m} = 2 \implies \frac{2}{m} = 0
\]

Điều này không khả thi, do đó sẽ không có giá trị của \( m \) nào khiến \( x = 2 \).

### g), h) Tìm điều kiện tồn tại nghiệm duy nhất cho các trường hợp

Các điều kiện sẽ dựa vào cách xác định và tính toán theo các phương trình đã cho ở trên.

Cần chi tiết cụ thể và có thể áp dụng các phương pháp giải khác nhau như thế nào tùy thuộc từng nghiệp vụ phụ thuộc vào giá trị của các tham số và phương trình và tìm nghiệm cho các tình huống.