Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các điều kiện về vị trí của các điểm A, B, C và D.

### a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) không? Vì sao?

1. **Điểm B:**
- B là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d. Do d không cắt đường tròn (O) tại A (vì A thuộc (O) nhưng không thuộc d), và B là điểm đối xứng nên B cũng sẽ nằm trên đường tròn (O).

2. **Điểm C:**
- C là điểm đối xứng với A qua O. Vì A thuộc (O) nên điểm C, là hình chiếu của A qua tâm O, cũng sẽ thuộc đường tròn (O).

3. **Điểm D:**
- D là điểm đối xứng với B qua O. Tương tự như trên, vì B thuộc (O) nên D cũng sẽ thuộc đường tròn (O).

=> Từ phân tích trên, ta kết luận rằng cả ba điểm B, C và D đều thuộc đường tròn (O).

### b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật, ta sẽ chứng minh rằng các cạnh AB, BC, CD, DA và các đường chéo AC, BD thỏa mãn điều kiện của hình chữ nhật.

1. **Các đoạn thẳng AB và CD:**
- Vì B là đối xứng với A qua d, và B thuộc (O), nên AB vuông góc với đường thẳng d.
- Tương tự, D là đối xứng với B qua O, và do đó CD cũng vuông góc với d.
- Vậy AB // CD và đồng thời AB ⊥ CD (AB vuông góc với đường chéo AC).

2. **Các đoạn thẳng AD và BC:**
- Tương tự như trên, ta có AD ⊥ BC.

3. **Phân tích các đường chéo:**
- Do C là đối xứng với A qua O, và D là đối xứng với B qua O, ta biết rằng AC và BD sẽ cắt nhau tại O, tức là O là trung điểm của cả AC và BD.

Với những điều kiện trên, tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d

Để chứng minh C và D đối xứng qua d, ta thực hiện như sau:

1. **C là điểm đối xứng của A qua O:**
- Có nghĩa là OA = OC.

2. **D là điểm đối xứng của B qua O:**
- Có nghĩa là OB = OD.

3. **B và A đối xứng qua d:**
- Nếu ta xét điểm C, khi B đối xứng với A qua d, thì O nằm trên d.

4. **Đối xứng qua O:**
- Vì C và D là các điểm đối xứng với A và B qua O, và B đối xứng A qua d, thì ta có thể kết luận rằng C và D cũng đối xứng nhau qua d.

=> Vậy C và D là đối xứng với nhau qua đường thẳng d.

Tóm lại, ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán.