Để chứng minh \( AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 \) cho tứ giác \( ABCD \) có hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau tại điểm giao \( O \), ta có thể sử dụng hệ tọa độ phẳng. Giả sử các điểm \( A, B, C, D \) có tọa độ như sau: - \( A(x_1, y_1) \) - \( B(x_2, y_2) \) - \( C(x_3, y_3) \) - \( D(x_4, y_4) \) Điểm \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). Ta biết rằng \( O \) chia \( AC \) và \( BD \) thành các đoạn thẳng: - \( AO \), \( OC \) - \( BO \), \( OD \) Do hai đường chéo vuông góc với nhau tại \( O \), ta có: \[ AB^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \] \[ BC^2 = (x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2 \] \[ CD^2 = (x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2 \] \[ AD^2 = (x_4 - x_1)^2 + (y_4 - y_1)^2 \] Bây giờ, ta sẽ tính toàn bộ và thay thế vào các công thức. Mặc dù việc tính toán này có vẻ phức tạp, nhưng ta sẽ dùng một cách tiếp cận đơn giản hơn bằng cách sử dụng hệ quả từ định lý Pytago. ### Chứng minh theo định lý Pytago: Ta có: - Gọi \( |AO| = a \), \( |OC| = b \) - Gọi \( |BO| = c \), \( |OD| = d \) Với \( AC \perp BD \), ta có: - \( AB^2 = AO^2 + BO^2 = a^2 + c^2 \) - \( BC^2 = BO^2 + OC^2 = c^2 + b^2 \) - \( CD^2 = OC^2 + OD^2 = b^2 + d^2 \) - \( AD^2 = AO^2 + OD^2 = a^2 + d^2 \) Tiến hành cộng các kết quả lại, ta sẽ có: \[ AB^2 + CD^2 = (a^2 + c^2) + (b^2 + d^2) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \] \[ AD^2 + BC^2 = (a^2 + d^2) + (c^2 + b^2) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \] Do đó, ta có: \[ AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 \] Từ đó, chúng ta đã chứng minh được rằng \( AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 \) cho tứ giác \( ABCD \) có hai đường chéo vuông góc với nhau.