Chứng minh nếu an^2+1 chia hết cho bn + 1 thì b = an

Để chứng minh vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng giả thiết là \( an^2 + 1 \) chia hết cho \( bn + 1 \).

Giả sử \( an^2 + 1 \equiv 0 \mod (bn + 1) \). Điều này có nghĩa là:

\[
an^2 + 1 = k(bn + 1)
\]

với \( k \) là một số nguyên.

Mở rộng phương trình trên ra, ta có:

\[
an^2 + 1 = kbn + k
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
an^2 - kbn + (1 - k) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên \( n \), điều kiện cần là hệ số của \( n^2 \) (là \( a \)) phải bằng 0 hoặc phương trình này phải có nghiệm nguyên. Ta sẽ xem xét trường hợp mà \( n \) có thể nhận giá trị từ 1 đến \( n \).

Hãy phân tích từng trường hợp:

1. **Trường hợp \( a = k \)**:
- Nếu \( k = a \), ta có \( an^2 - abn + (1 - a) = 0 \). Phương trình này có nghiệm là \( n \) nếu \( an^2 - abn + (1 - a) = 0 \) có nghiệm đối với phân tích bậc hai.

2. **Trường hợp \( k < a \)**:
- Nếu \( k < a \), ta sẽ thấy rằng do \( a < n \), \( an^2 \) sẽ lớn hơn \( kbn + (1 - k) \) khi \( n \) đạt giá trị lớn. Điều này sẽ gây ra mâu thuẫn vì phương trình sẽ không có nghiệm nguyên.

3. **Trường hợp \( k > a \)**:
- Tương tự như trên, nếu \( k > a \), \( k-1 \) sẽ không đưa ra được giá trị lớn hơn \( an^2 \) nếu xét đến \( n \) là số nguyên dương và \( a < n \).

Trong mọi trường hợp trên, điều này dẫn đến kết luận rằng giá trị tối ưu duy nhất cho \( b \) là \( b = an \), vì chỉ có tỷ lệ này cân bằng cả hai vế của phương trình.

Cuối cùng, chúng ta đã chứng minh được rằng nếu \( an^2 + 1 \) chia hết cho \( bn + 1 \), thì bắt buộc phải có \( b = an \).