Để giải các phương trình trong hệ phương trình bạn đã nêu, chúng ta sẽ xử lý từng phương trình một.

### Phương trình 1:
\[ 3^x - 1 = 2^{4.5} \]

Giải phương trình này:
\[ 3^x = 2^{4.5} + 1 \]
\[ 2^{4.5} = 2^{4} \cdot 2^{0.5} = 16 \cdot \sqrt{2} = 16\sqrt{2} \]
Vậy:
\[ 3^x = 16\sqrt{2} + 1 \]

### Phương trình 2:
\[ 4 \cdot 2^x - 3 = 125 \]

Giải phương trình này:
\[ 4 \cdot 2^x = 128 \]
\[ 2^x = 32 \]
\[ x = 5 \]

### Phương trình 3:
\[ 3 \cdot 2^x + 1 - 5 = 19 \]

Giải phương trình này:
\[ 3 \cdot 2^x - 4 = 19 \]
\[ 3 \cdot 2^x = 23 \]
\[ 2^x = \frac{23}{3} \]
\[ x = \log_2\left(\frac{23}{3}\right) \]

### Phương trình 4:
\[ 26 + 5 \cdot 2^{x \cdot 2} = 106 \]

Giải phương trình này:
\[ 5 \cdot 2^{x \cdot 2} = 80 \]
\[ 2^{x \cdot 2} = 16 \]
\[ 2^{2x} = 16 \Rightarrow 2^{2x} = 2^4 \]
Thì:
\[ 2x = 4 \]
\[ x = 2 \]

### Tóm lược:
1. Phương trình 1: \( x = \text{giá trị từ } 3^x = 16\sqrt{2} + 1 \) - cần tính cụ thể hơn.
2. Phương trình 2: \( x = 5 \)
3. Phương trình 3: \( x = \log_2\left(\frac{23}{3}\right) \)
4. Phương trình 4: \( x = 2 \)

Nếu bạn cần tìm một giá trị chung cho \( x \), bạn cần so sánh các giá trị trên.