Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta sẽ thực hiện từng bài một.

### 51. \( x^4 + 4y^4 \)

Ta có thể nhận thấy rằng đây là một tổng của hai bình phương. Sử dụng công thức \( a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi) \):

\[
x^4 + 4y^4 = x^4 + (2y^2)^2 = (x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)
\]

### 52. \( x^7 + x^2 + 1 \)

Để phân tích đa thức này, trước tiên ta có thể thử nghiệm bằng cách tìm các nghiệm hoặc sử dụng chia đa thức.

Chúng ta không có công thức đơn giản nào cho trường hợp này, vì thế ta có thể giữ nguyên nó như là:
\[
x^7 + x^2 + 1
\]
Nếu không tìm được nhân tử rõ ràng.

### 53. \( x^8 + x + 1 \)

Tương tự như bài trước, không có công thức đơn giản cho đa thức này. Ta có thể viết nó dưới dạng:
\[
x^8 + x + 1
\]
Mặc dù không có nhân tử rõ ràng, nó có thể được kiểm tra bằng cách thử nghiệm các nghiệm.

### 54. \( x^8 + x^7 + 1 \)

Với bài này, ta cũng thử tìm cách phân tích:

\[
x^8 + x^7 + 1 = (x^8 + 1) + x^7
\]

Nhưng không có cách phân tích rõ ràng thành nhân tử.

Các đa thức này có thể khó phân tích ra ngoài các dạng cơ bản hoặc có thể cần đến các phương pháp hiện đại hơn (như định lý nghiệm phức). Nếu có điều kiện, chúng ta có thể sử dụng phần mềm như Wolfram Alpha hoặc các công cụ toán học khác để tìm nghiệm.