Để giải bài toán này, trước tiên ta cần vẽ hình và xác định các thông tin đã cho.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Ký hiệu:
- \(A\) là góc vuông,
- \(B\) là điểm trên cạnh \(AB\),
- \(C\) là điểm trên cạnh \(AC\).

Từ \(M\) trên cạnh \(BC\), ta kẻ \(MD \parallel AC\) với \(D \in AB\) và \(ME \parallel AB\) với \(E \in AC\).

### a. Chứng minh tứ giác \(AEMD\) là hình chữ nhật:

Để tứ giác \(AEMD\) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau.

1. \(MD \parallel AC\) và \(ME \parallel AB\): Theo giả thiết, \(MD\) và \(ME\) lần lượt song song với các cạnh của tam giác vuông \(ABC\).
2. Tại \(A\), góc \(AEM + \angle DAE = 90^\circ\) vì \(ME\) vuông góc với \(AC\) và \(MD\) vuông góc với \(AB\).
3. Từ đó, ta có:
- \(\angle AEM + \angle EAM = 90^\circ\),
- \(\angle ADM + \angle MAD = 90^\circ\).

Vì vậy, tứ giác \(AEMD\) là hình chữ nhật do có các góc vuông.

### b. Xác định vị trí của \(M\) trên cạnh \(BC\) để tứ giác \(AEMD\) là hình vuông:

Để tứ giác \(AEMD\) là hình vuông, cần cả chiều dài của hai cạnh \(AE\) và \(AM\) phải bằng nhau. Hai cạnh này được xác định như sau:

1. Cạnh \(AE\) có độ dài bằng chiều cao từ \(M\) đến cạnh \(AB\) (điểm \(E\) là giao điểm của đường thẳng đi qua \(M\) vuông góc với \(AB\)).
2. Cạnh \(AM\) có độ dài bằng đường chéo của tứ giác hình vuông \(AEMD\).

Do đó, ta cần điều kiện:

\[
AM = AE
\]

Tương ứng với việc \(M\) phải nằm sao cho độ dài từ \(A\) đến \(M\) bằng độ dài từ \(A\) đến \(E\) (có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông để tính chính xác độ dài).

**Kết luận:** Ta cần xác định vị trí của \(M\) sao cho nó bằng một nửa của chiều cao từ \(A\) đến cạnh \(BC\). Hoặc có thể dựa vào tỷ lệ độ dài của cạnh trong tam giác vuông để xác định vị trí của \(M\).

Hy vọng rằng phân tích trên sẽ giúp ích cho bạn trong việc giải bài toán này!