Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về tam giác OPQ cân tại O với các điểm I, M, N như đã cho, chúng ta sẽ tiến hành lần lượt các bước sau đây:

### a) Chứng minh tam giác IMN cân tại I:
1. **Đặt các điểm:**
- Gọi O là đỉnh của tam giác OPQ.
- Gọi P và Q là hai đỉnh còn lại.
- I là trung điểm của PQ.

2. **Tính chất của các đoạn thẳng:**
- Vì IM ⊥ OQ và IN ⊥ OP (do IM // OQ và IN // OP), suy ra ∠IMN = ∠OIN và ∠IMN = ∠IOM.

3. **Từ tính chất tam giác cân:**
- Trong tam giác OPQ, điểm I là trung điểm của PQ, nên OP = OQ (do OPQ cân).
- Do đó, ∠IMN + ∠INM = 180°.

4. **Giống nhau về các cạnh:**
- Do OI là trung điểm của PQ, nên các đoạn thẳng IM và IN có thỏa mãn điều kiện đẳng cấu, vậy nên IM = IN.

5. **Kết luận:**
- Từ các điều kiện vừa chứng minh, ta có thể kết luận rằng tam giác IMN là tam giác cân tại I (IM = IN).

### b) Chứng minh OI là đường trung trực của MN:
1. **Xác định trực giao:**
- Từ a), chúng ta đã chứng minh rằng tam giác IMN là tam giác cân tại I với IM = IN.

2. **Tính chất trung trực:**
- Trong một tam giác, đường trung trực của một cạnh là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh đó và vuông góc với cạnh đó.
- Trường hợp này, I là trung điểm của MN (do IM = IN), nên OI sẽ là đường trung trực của MN.

3. **Kết luận:**
- Do OI đi qua I (trung điểm của MN) và vuông góc với MN, nên ta có thể kết luận rằng OI chính là đường trung trực của MN.

**Vậy chúng ta đã chứng minh được**:
a) Tam giác IMN cân tại I;
b) OI là đường trung trực của MN.