Để chứng minh các đề bài liên quan đến tứ giác AMCN trong hình bình hành ABCD, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện theo từng phần a và b.

### Câu a: Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

1. **Xác định tọa độ của các điểm:**
Gọi tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt là:
- A(x1, y1)
- B(x2, y2)
- C(x3, y3)
- D(x4, y4)

Trong hình bình hành, ta có:
- \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\)

2. **Tính tọa độ của điểm M và N:**
- M là trung điểm của AB:
\[
M = \left(\frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2}\right)
\]
- N là trung điểm của CD:
\[
N = \left(\frac{x3 + x4}{2}, \frac{y3 + y4}{2}\right)
\]

3. **Chứng minh AM // CN và AN // MC:**
Do tứ giác ABCD là hình bình hành, nên các cạnh đối diện song song và có độ dài bằng nhau:
- \(AB \parallel CD \implies AM \parallel CN\)
- \(AD \parallel BC \implies AN \parallel MC\)

4. **Chứng minh độ dài:**
- Ta có AM = MN và CN.
- Từ đó, \(AM = CN\) và \(AN = MC\).

Vậy tứ giác AMCN có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, do đó AMCN là hình bình hành.

### Câu b: Chứng minh AN // CM và góc BMB = góc DNB.

1. **Chứng minh AN // CM**:
Từ phần a, chúng ta đã chứng minh rằng AN // MC. Đây là một điều hiển nhiên từ tính song song của các cạnh trong hình bình hành ABCD.

2. **Chứng minh góc BMB = góc DNB**:
Do M và N là trung điểm của AB và CD, ta có:
- Tam giác ABM và CDM có hai cạnh là AM và CN bằng nhau (do cả hai đều là nửa của hai cạnh của hình bình hành) và cạnh BM // DN.
- Từ tính chất của các góc trong tam giác, ta có:
\[
\angle BMB = \angle DNB
\]

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng AN // CM và góc BMB = góc DNB.

Kết luận: Tứ giác AMCN là hình bình hành và AN // CM với góc BMB = góc DNB.