Cho hình bình hành MNPQ, vẽ MH vuông góc NQ; PK vuông góc NQ. Chứng minh tam giác MHPK là hình bình hành

Để chứng minh tam giác \( MHPK \) là hình bình hành, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác \( MHPK \) là hình bình hành

1. Ta có hình bình hành \( MNPQ \), vì vậy:
\[
NP \parallel MQ
\]
và
\[
MN \parallel PQ
\]

2. Theo đề bài, \( MH \perp NQ \) và \( PK \perp NQ \). Do đó, \( MH \) và \( PK \) đều vuông góc với \( NQ \).

3. Từ tính chất của hình bình hành, ta có:
- Hai đoạn thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng song song là song song với nhau. Do đó:
\[
MH \parallel PK
\]

4. Hơn nữa, ponieważ \( MH \perp NQ \) và \( PK \perp NQ \), thì hai đoạn thẳng này cũng vuông góc với nhau.

5. Từ đó, ta có:
\[
MH \parallel PK \quad \text{ và } \quad MH = PK
\]

6. Theo định nghĩa hình bình hành, nếu một hình có 2 cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau, thì đó là một hình bình hành. Do đó, ta có thể kết luận rằng tam giác \( MHPK \) là hình bình hành.

### b) Gọi \( I \) là trung điểm của \( HK \)

Chúng ta cần chứng minh rằng \( IN = IQ \).

1. Ta đã biết \( IN \) là đoạn thẳng nối từ điểm \( I \) đến điểm \( N \) và \( IQ \) là đoạn thẳng nối từ điểm \( I \) đến điểm \( Q \).

2. Việt \( H \) là điểm trên \( NQ \) (vì \( MH \perp NQ \)) và \( K \) cũng là điểm trên \( NQ \) (vì \( PK \perp NQ \)).

3. Do \( I \) là trung điểm của \( HK \), ta có:
\[
IH = IK
\]

4. Do \( NQ \) là đoạn thẳng đi qua \( H \) và \( K \), mà \( H \) và \( K \) thuộc cùng một đường thẳng \( NQ \) thì ta có thể xác định các đoạn thẳng sau:
- \( IN \) là một đoạn từ \( N \) tới \( I \)
- \( IQ \) là một đoạn từ \( I \) tới \( Q \)

5. Vì \( MH \parallel PK \) và \( PK \perp NQ \), do đó \( IN \) và \( IQ \) cũng sẽ bằng nhau.

6. Cuối cùng, ta có:
\[
IN = IQ
\]

Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán.

### Kết luận
- Tam giác \( MHPK \) là hình bình hành.
- \( IN = IQ \).