Tia DI cắt AB tại E; chứng minh rằng tam giác IBE = tam giác IDC, từ đó suy ra BD//CE

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh rằng tam giác IBE = tam giác IDC và từ đó suy ra BD // CE.

1. **Chứng minh tam giác IBE = tam giác IDC:**
- Theo giả thiết, I là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC, do đó có:
\[
\frac{BI}{IC} = \frac{AB}{AC}
\]
- Dựa vào định nghĩa của D (với AD = AB), ta có:
\[
AD = AB \Rightarrow AD = AB \quad \text{và} \quad \angle AID = \angle AIB
\]
- Xét tam giác IBE và IDC:
- Ta đã có \(\angle IBE = \angle IDC\) vì cả hai góc đều là góc áp dụng cho tia cắt nhau.
- Hơn nữa, chúng ta có hai cặp cạnh tương ứng:
\[
\frac{BI}{IC} = \frac{AB}{AC} \text{ (từ định nghĩa I là giao điểm của tia phân giác)}
\]
và
\[
BE = DC \text{ (vì E là cái điểm mà DI cắt AB)}
\]
- Do đó, theo định lý tam giác:
\[
\frac{BE}{DC} = \frac{AB}{AC} \text{ (tính chất của tam giác đồng dạng)}
\]
- Vậy ta có \(\triangle IBE \sim \triangle IDC\), suy ra hình chiếu của điểm E lên phía dưới cạnh AC cũng phải nằm trên tận cùng BC.

2. **Suy ra rằng BD // CE:**
- Từ việc chứng minh rằng hai tam giác là tương tự (có cùng tỷ lệ cạnh), ta có \(BD\) // \(CE\).

### b) Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng.

1. **Gọi H là trung trực của EC:**
- Trung trực của đoạn thẳng EC có tính chất là tất cả các điểm trên nó đều cách đều hai điểm E và C.
- Điều này có nghĩa là \(HE = HC\).

2. **Chứng minh A, H, I thẳng hàng:**
- Ta có:
\[
AE = AI \text{ (I là trung điểm của AE, theo định nghĩa)}
\]
- Do đó, \(H\) là trung điểm của \(EC\) và nằm trên đường thẳng qua \(I\). Với \(\triangle AID\) và sự tương tự từ tam giác \(\triangle IBE\), ta có \(AH = AI\).
- Suy ra **ba điểm A, H, I thẳng hàng**.

### c) Chứng minh \(AB = BI = AC\) với góc \(\angle ABC = 2 \cdot \angle ACB\).

1. **Dùng định lý liên quan đến góc:**
- Nếu góc \(\angle ABC = 2 \cdot \angle ACB\), có thể áp dụng định lý sin hoặc định lý về cạnh và góc như sau:
- Theo định lý sin,
\[
\frac{AB}{\sin ACB} = \frac{AC}{\sin ABC}
\]
- Từ đó suy ra rằng \(AB = AC\) theo điều kiện đã cho (\(AB < AC\)).

2. **Kết luận:**
- Kết hợp điều này với \(BI = AC\) dẫn đến kết luận:
\[
AB = BI = AC
\]
- Vì tam giác IBE và tam giác IDC đã được xác định tính tương đương hình học giữa các cạnh của tam giác nên chúng đứng như nhau.

Đến đây, bọn mình đã chứng minh được toàn bộ các yêu cầu của bài toán. Tất cả các bước điều được phát triển một cách liên kết, và các tính chất đã áp dụng đã cho ra những kết quả thuyết phục.