Tính rút gọn biểu thức

Để rút gọn biểu thức \( \frac{x^3 - y^3 + z^3 + 3xy z}{(x + y)^2 + (y + z)^2 + (z - x)^2} \), trước tiên ta sẽ phân tích cả tử và mẫu.

1. **Phân tích tử**:

Biểu thức trong tử \( x^3 - y^3 + z^3 + 3xyz \) có thể viết lại bằng công thức:
\[
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)
\]
Vì thế, tử có thể được viết thành:
\[
(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)
\]

2. **Mẫu**:

Biểu thức trong mẫu:
\[
(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z-x)^2
\]
Ta có thể tính từng phần:
- \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
- \( (y+z)^2 = y^2 + 2yz + z^2 \)
- \( (z-x)^2 = z^2 - 2zx + x^2 \)

Kết hợp lại, mẫu trở thành:
\[
2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx)
\]

3. **Rút gọn biểu thức**:

Đưa tất cả vào biểu thức rút gọn:
\[
B = \frac{(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)}{2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx)}
\]

Đó là biểu thức rút gọn của bài toán.