Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đã cho, ta sẽ xem xét từng biểu thức một:

### a) \( A = x^2 - 2x + 5 \)

Đây là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \), \( b = -2 \) và \( c = 5 \).
Giá trị nhỏ nhất của một hàm bậc hai khi \( a > 0 \) sẽ được đạt tại đỉnh, có tọa độ \( x = -\frac{b}{2a} \).

Tính giá trị:

\[
x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1
\]

Thay \( x = 1 \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = 1^2 - 2 \cdot 1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là **4**.

### b) \( B = x^2 + 1 \)

Trong trường hợp này, \( x^2 \) luôn không âm (\( x^2 \geq 0 \)). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( B \) sẽ xảy ra khi \( x^2 = 0 \).

Thay vào biểu thức:

\[
B = 0 + 1 = 1
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là **1**.

### c) \( C = 210x \)

Biểu thức này là một hàm số bậc nhất. Giá trị nhỏ nhất của \( C \) phụ thuộc vào miền giá trị của \( x \).
- Nếu \( x \) có miền xác định là không âm (\( x \geq 0 \)), giá trị nhỏ nhất là khi \( x = 0 \):

\[
C = 210 \cdot 0 = 0
\]

- Nếu \( x \) có miền xác định là có thể âm, giá trị nhỏ nhất sẽ là âm vô cùng.

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( C \) là **0** (nếu \( x \geq 0 \)) hoặc là \( -\infty \) (nếu \( x \) không hạn chế).

### d) \( D = x^2 + 5y^2 - 2xy + 4y + 3 \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta có thể biến đổi nó thành dạng hoàn thành bình phương.

\[ D = (x - y)^2 + 5y^2 + 4y + 3 \]

Xét phần \( 5y^2 + 4y + 3 \) như một hàm bậc hai theo \( y \):

Áp dụng công thức tính giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai \( ay^2 + by + c \):

\[
y = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 5} = -\frac{2}{5}
\]

Thay giá trị \( y = -\frac{2}{5} \) vào biểu thức \( 5y^2 + 4y + 3 \):

\[
5\left(-\frac{2}{5}\right)^2 + 4\left(-\frac{2}{5}\right) + 3 = 5 \cdot \frac{4}{25} - \frac{8}{5} + 3 = \frac{20}{25} - \frac{40}{25} + \frac{75}{25} = \frac{55}{25} = \frac{11}{5}
\]

Giá trị này là \( \frac{11}{5} \). Vậy giá trị nhỏ nhất của \( D \):

\[
D_{\text{min}} = 0 + \frac{11}{5} = \frac{11}{5}
\]

### Tóm tắt kết quả:
- a) \( A \) nhỏ nhất là **4**
- b) \( B \) nhỏ nhất là **1**
- c) \( C \) nhỏ nhất là **0** (nếu \( x \geq 0 \))
- d) \( D \) nhỏ nhất là **\( \frac{11}{5} \)**.