Để giải bài toán này, ta cần phân tích từng phần một:

### a) Chứng minh ΔAEB ~ ΔAFC và viết tỉ số đoạn đường.

Để chứng minh hai tam giác \( ΔAEB \) và \( ΔAFC \) đồng dạng, ta có thể sử dụng tiêu chí đồng dạng của tam giác (góc-góc hoặc cạnh-góc-cạnh).

- **Góc A chung** cho cả hai tam giác.
- Xem xét các góc tại điểm H:
- Góc \( AEB \) và góc \( AFC \) tương ứng với các đường cao.
- Theo định nghĩa, \( AD \perp BC, BE \perp AC \), và \( CF \perp AB \).

=> Suy ra hai tam giác đồng dạng \( ΔAEB \sim ΔAFC \).

**Tỉ số đoạn đường:**
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AF} \]

### b) Chứng minh \( AF = AC \).

Để chứng minh \( AF = AC \), ta dựa trên tính chất đồng dạng của hai tam giác đã chứng minh ở phần a.

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AF} \]

Suy ra \( AF = AC \) nếu \( AE = AB \) (có thể dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh).

### c) Gọi O là trung điểm BC. Đường thẳng qua O vuông góc với AC cắt AD, BE, CF tại H.

Để chứng minh rằng \( ΔAIM \sim ΔBOH \):

- \( O \) là trung điểm nên \( OB = OC \).
- \( AH \perp BC \) dẫn đến rằng các góc tương ứng trong tam giác là bằng nhau dẫn đến tỉ số cạnh cũng bằng nhau.

=> Suy ra \( ΔAIM \sim ΔBOH \).

### d) Chứng minh điểm I trung điểm MN.

Để chứng minh \( I \) là trung điểm của \( MN \):

- Từ các thông tin về các độ dài và các tam giác đồng dạng đã chứng minh ở trên, ta có thể kết luận rằng các đoạn thẳng \( MI \) và \( IN \) bằng nhau.

=> Kết luận \( I \) là trung điểm của \( MN \).

Nếu cần làm rõ hơn từng phần, hãy thông báo để mình có thể hỗ trợ thêm!