Chúng ta sẽ phân tích thành nhân tử các biểu thức đã cho bằng cách phối hợp nhiều phương pháp khác nhau như nhóm số hạng, sử dụng hằng đẳng thức, v.v.

### 1. \( a^2 - b^2 - 12a + 12b \)

**Bước 1: Sắp xếp lại biểu thức**

Viết lại:
\[
a^2 - 12a - b^2 + 12b
\]

**Bước 2: Nhóm các số hạng**

Nhóm thành hai phần:
\[
(a^2 - 12a) + (-b^2 + 12b)
\]

**Bước 3: Phân tích từng nhóm**

Đối với nhóm 1: \( a^2 - 12a = a^2 - 12a + 36 - 36 = (a - 6)^2 - 36 \)

Đối với nhóm 2: \( -b^2 + 12b = - (b^2 - 12b) = -(b^2 - 12b + 36 - 36) = - ((b - 6)^2 - 36) = 36 - (b - 6)^2 \)

**Bước 4: Kết hợp lại**

Từ đó, ta có:
\[
(a - 6)^2 - (b - 6)^2 = [(a - 6) - (b - 6)][(a - 6) + (b - 6)] = (a - b)(a + b - 12)
\]

**Kết quả:**
\[
a^2 - b^2 - 12a + 12b = (a - b)(a + b - 12)
\]

---

### 2. \( xy^2 + x^2y + \frac{1}{4}y^3 \)

**Bước 1: Nhóm các số hạng**

Viết lại:
\[
xy^2 + x^2y + \frac{1}{4}y^3 = y^2(x + y) + \frac{1}{4}y^3
\]

**Bước 2: Nhóm và phân tích**

Nhóm lại:
\[
= y^2(x + y) + \frac{1}{4} y^3 = y^2(x + y) + \frac{1}{4}y^3
\]

**Bước 3: Phân tích thêm**

Ghi nhận rằng có thể viết lại như sau:
\[
= y^2(x + y) + \frac{1}{4}y^3 = y^2(x + y) + \frac{1}{4} (y^3)
\]

Thực hiện phân tích thêm:
\[
y^2(x + y) + \frac{1}{4}y^3 = (x + y)\left(y^2 + \frac{1}{4}y\right) = (x + y)\left(y^2 + \frac{1}{4}y\right)
\]

**Kết quả:**
\[
xy^2 + x^2y + \frac{1}{4}y^3 = (x + y)\left(y^2 + \frac{y}{4}\right)
\]

---

### 3. \( x^2 - 25y^2 - 6x + 9 \)

**Bước 1: Sắp xếp lại biểu thức**

Viết lại:
\[
x^2 - 6x - 25y^2 + 9
\]

**Bước 2: Nhóm và hoàn thành bình phương**

\[
(x^2 - 6x + 9) - 25y^2
\]
Tiến hành hoàn thành bình phương nhóm đầu:
\[
(x - 3)^2 - (5y)^2
\]

**Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức**

Áp dụng hằng đẳng thức:
\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]
Với \( a = x - 3 \) và \( b = 5y \):
\[
= ((x - 3) - 5y)((x - 3) + 5y) = (x - 3 - 5y)(x - 3 + 5y)
\]

**Kết quả:**
\[
x^2 - 25y^2 - 6x + 9 = (x - 3 - 5y)(x - 3 + 5y)
\]

---

### 4. \( 4x^2 - 25y^2 + 4x + 1 \)

**Bước 1: Sắp xếp**

Sắp xếp lại:
\[
4x^2 + 4x - 25y^2 + 1
\]

**Bước 2: Nhóm**

\[
4(x^2 + x) - 25y^2 + 1
\]

**Bước 3: Hoàn thành bình phương cho nhóm**

Hoàn thành bình phương cho \( 4(x^2 + x) \):
\[
= 4\left((x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right) - 25y^2 + 1
= 4(x + \frac{1}{2})^2 - 1 - 25y^2 + 1
= 4(x + \frac{1}{2})^2 - 25y^2
\]

**Bước 4: Sử dụng hằng đẳng thức**

Áp dụng hằng đẳng thức:
\[
= (2(x + \frac{1}{2}))^2 - (5y)^2 = (2x + 1)^2 - (5y)^2
= (2x + 1 - 5y)(2x + 1 + 5y)
\]

**Kết quả:**
\[
4x^2 - 25y^2 + 4x + 1 = (2x + 1 - 5y)(2x + 1 + 5y)
\]

---

Hy vọng phần giải quyết chi tiết trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về công việc phân tích thành nhân tử!