Giải các bài toán sau

+20 xu nhé
----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
1.1. Tìm các số nguyên tố x, y biết \( x^2 - 6y = 1 \).

1.2. Tìm các cặp số nguyên \( (x,y) \) thỏa mãn \( 2xy + 6x^2 - y - 3x = 11 \).

Câu 2. (4,0 điểm)

2.1. Cho các số \( x,y,z \) khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(\frac{xy}{x+y} = \frac{yz}{y+z} = \frac{zx}{z+x}\). Tính giá trị của biểu thức \( M = \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} \).

2.2. Biết rằng biểu thức \( f(x) \) chia cho \( x + 3 \) thì dư 10, chia cho \( x - 2 \) thì dư 5, chia cho \( (x + 3)(x - 2) \) được thương là \( 2x \) và còn dư. Tìm ra biểu thức \( f(x) \) và sắp xếp đẳng thức \( f(x) \) theo thứ tự giảm dần của biến.

Câu 3. (5,0 điểm)

Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) \( (AB < AC) \). Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \), lấy điểm \( D \) thuộc đáy của tia \( MA \) sao cho \( MD = MA \). Gọi \( K \) vuông góc với \( AD \) tại \( I \).

a) Chứng minh rằng \( BI = CK \).

b) Kẻ \( AH \) vuông góc với \( BC \) tại \( N \), \( MN \) vuông góc với \( BD \) tại \( N \). Chứng minh rằng các đường thẳng \( CK, AH, MN \) đồng quy.

c) Chứng minh rằng \( N \) là trung điểm của \( BD \).

d) Chứng minh rằng \( BC - AB = AC - AH \).

Câu 4. (2,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = (|2 - 26| + 1) + |3 - y| + 2023 \).

b) Chứng minh rằng không có số tự nhiên \( y \) luôn thỏa mãn hai số sao cho tổng của chúng chia hết cho 50.