Để giải bài toán này, ta thực hiện theo từng phần như sau:

### a) Tính số đo góc BOE.

1. **Góc AOB** đã cho là \(80^\circ\).
2. **Góc BOC** sẽ phụ thuộc vào cách vẽ và các góc liên quan, tuy nhiên, ta có thể suy luận rằng:

\[
\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ \quad \text{(do 2 góc kề bù)}
\]

Vậy:

\[
\angle BOC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ
\]

3. Tia OE vuông góc với OD, do đó:

\[
\angle BOE = \frac{1}{2}(\angle AOB) = \frac{1}{2}(80^\circ) = 40^\circ
\]

### b) Chứng tỏ rằng OE là tia phân giác của góc BOC.

1. **Xét góc BOC**:

\[
\angle BOC = 100^\circ
\]

2. Tia OE là tia phân giác của góc BOC nếu:

\[
\angle BOE = \angle EOC
\]

3. Từ điểm 3 ở phần a), ta đã tính được:

\[
\angle BOE = 40^\circ
\]

4. Suy ra:

\[
\angle EOC = \angle BOC - \angle BOE = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ
\]

5. Do đó:

\[
\angle BOE + \angle EOC = 40^\circ + 60^\circ = 100^\circ = \angle BOC
\]

Vậy nên:

\[
\angle BOE = \angle EOC
\]

Do đó, OE là tia phân giác của góc BOC.

### Kết luận:

- \( \angle BOE = 40^\circ \)
- OE là tia phân giác của góc BOC.