Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ tiến hành theo từng phần như sau:

### a. Chứng minh \( AE = AF \)

- Ta có điểm \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \). Vì \( E \) và \( F \) là hai điểm đối xứng của \( H \) qua \( AB \) và \( AC \) nên ta có:

\[
AEH \text{ và } AFH \text{ là hai tam giác vuông tại } H.
\]

- Xét hai tam giác vuông \( \triangle AHE \) và \( \triangle AHF \):

\[
AH = AH \quad (\text{cạnh chung}), \quad \angle AHE = \angle AHF = 90^\circ \quad (\text{điều này hiển nhiên}),
\]

- Do đó, theo định lý cạnh huyền:

\[
AE = AF.
\]

### b. Chứng minh \( AH \) là phân giác của \( \angle MHN \)

- Xét \( \triangle MHA \) và \( \triangle NHA \):

- Chúng ta có \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), do đó \( MH \perp AB \) và \( NH \perp AC \).

- Theo định nghĩa, nếu \( AE = AF \) và \( AH \) chia \( M \) và \( N \) thành các đoạn thẳng vuông góc, ta có:

\[
\angle MHA = \angle NHA.
\]

- Từ đó suy ra rằng \( AH \) là phân giác của \( \angle MHN \).

### c. Chứng minh \( CM \parallel EH \) và \( BN \parallel FH \)

- Từ các tính chất của tam giác và tính chất đối xứng, ta có:

- Vì \( E \) là đối xứng của \( H \) qua \( AB \) nên \( EH \perp AB \).

- Do đó, nếu \( CM \) cắt \( AB \) tại \( M \) và \( BN \) cắt \( AC \) tại \( N \), thì ta có:

\[
CM \parallel EH \quad \text{và} \quad BN \parallel FH.
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.