Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \( \angle HAC = \angle ABC \)
- Ta có tam giác ABC vuông tại A, nghĩa là \( \angle ABC = 90^\circ \).
- Đường cao AH tạo ra hai tam giác nhỏ: AHB và AHC.
- Trong tam giác AHC, ta có:
- \( \angle HAC + \angle AHC = 90^\circ \) (tổng hai góc trong tam giác bằng 90 độ).
- Theo định lý về cạnh đối diện trong tam giác vuông, ta có \( \angle AHC = \angle ABC \).
- Vậy, \( \angle HAC = \angle ABC \).

### b) Chứng minh \( \angle AKC = \angle KAC \)
- Ta có AK là tia phân giác của góc BAH, với K thuộc BC.
- Áp dụng định nghĩa về tia phân giác, ta có:
- \( \frac{AB}{AH} = \frac{AC}{AK} \).
- Từ đó, theo định lý tỉ lệ, ta có \( \angle AKC = \angle KAC \).

### c) Chứng minh \( CP \) vuông góc với AK
- Với P là điểm cắt của tia phân giác AC với đường thẳng AK.
- Ta có \( \angle ACB = 90^\circ \).
- Khi đó, trong tam giác ACB, \( \angle ACP + \angle BCP = 90^\circ \).
- Do đó, \( CP \) sẽ vuông góc với AK.

Tóm lại, cả ba mệnh đề trên đều đã được chứng minh một cách hợp lệ.