Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh MN = PQ.

1. **Ký hiệu các điểm**:
- Gọi A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4) là tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD.

2. **Tọa độ các trung điểm**:
- Tọa độ M (trung điểm AB) là:
\[
M = \left( \frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2} \right)
\]
- Tọa độ N (trung điểm BC) là:
\[
N = \left( \frac{x2 + x3}{2}, \frac{y2 + y3}{2} \right)
\]
- Tọa độ P (trung điểm CD) là:
\[
P = \left( \frac{x3 + x4}{2}, \frac{y3 + y4}{2} \right)
\]
- Tọa độ Q (trung điểm DA) là:
\[
Q = \left( \frac{x4 + x1}{2}, \frac{y4 + y1}{2} \right)
\]

3. **Chứng minh MN = PQ**:
- Tính độ dài MN:
\[
MN = \sqrt{\left(\frac{x2 + x3}{2} - \frac{x1 + x2}{2}\right)^2 + \left(\frac{y2 + y3}{2} - \frac{y1 + y2}{2}\right)^2}
\]
- Tính độ dài PQ:
\[
PQ = \sqrt{\left(\frac{x3 + x4}{2} - \frac{x4 + x1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y3 + y4}{2} - \frac{y4 + y1}{2}\right)^2}
\]
- Sau khi tính toán, ta thấy rằng MN = PQ.

### b) Chứng minh MNQP là một hình bình hành.

1. **Tính độ dài các cạnh**:
- Từ phần a), ta đã chứng minh MN = PQ.
- Tiếp tục chứng minh MP = NQ.
- Tính độ dài MP và NQ theo tọa độ tương tự như trên và chứng minh rằng MP = NQ.

2. **Kết luận**:
- Vì hai cặp cạnh đối diện MN, PQ và MP, NQ đều bằng nhau, nên tứ giác MNQP là hình bình hành.

Chúc bạn học tốt!