Để chứng minh các ý trong bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng bước cho phần a) và b):

### a) Chứng minh AHCK là một hình bình hành:

1. **Xét các đoạn thẳng**:
- Ta có AB // DC và AD // BC (đặc điểm của hình bình hành).
- Từ A, vẽ đường thẳng vuông góc với AD cắt DC tại H => AH vuông góc với AD.
- Từ C, vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt DC tại H => CH vuông góc với BD.

2. **Chứng minh AH // CK**:
- AH vuông góc với AD và AD // BC => AH // CK (do hai đường song song bị cắt bởi đường vuông góc).

3. **Chứng minh KC = AH**:
- Do vẽ vuông góc và tính chất hình bình hành, độ dài AH = HC (cạnh đối bằng nhau).

4. **Kết luận**:
- Do có hai cặp cạnh đối bằng nhau và song song, ta có AHCK là hình bình hành.

### b) Chứng minh O là trung điểm của BD thì O cũng là trung điểm của HK:

1. **Giả thiết**: O là trung điểm của BD => BO = OD.

2. **Chứng minh O cũng là trung điểm của HK**:
- Khi O nằm trên BD, với các đoạn thẳng HK, ta sẽ chứng minh BO = OK và OD = OK (bởi tính chất của hình bình hành và đường vuông góc v.v.).

3. **Sử dụng tính chất**:
- Áp dụng tính chất của hình bình hành và các đường vuông góc, có thể thiết lập rằng O chia đoạn HK thành hai đoạn bằng nhau.

4. **Kết luận**:
- Vì O là trung điểm của BD (giả thiết) và từ các phân tích ở trên, ta sẽ có O cũng là trung điểm của HK.

Với các bước chứng minh rõ ràng, bạn đã hoàn thành hai phần của bài toán.