Để chứng minh tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn thẳng và các điểm trung điểm.

1. **Xét các điểm trung điểm**:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( N \) là trung điểm của \( CD \).

2. **Xét các đoạn thẳng**:
- \( E \) là điểm giao nhau của \( AN \) và \( BD \).
- \( F \) là điểm giao nhau của \( CM \) và \( BD \).

3. **Sử dụng tính chất hình bình hành**:
- Trong tứ giác \( AMCN \), để chứng minh đây là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng \( AM \) song song với \( CN \) và \( AN \) song song với \( CM \).

4. **Chứng minh song song**:
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), theo định nghĩa của hình bình hành, chúng ta có:
\[
AM \parallel CN \quad \text{và} \quad AN \parallel CM
\]

5. **Sử dụng định lý**:
- Từ tính chất của đoạn thẳng song song, ta có:
- Đoạn \( AM \) bằng đoạn \( CN \) (cùng chiều dài vì là trung điểm).
- Đoạn \( AN \) bằng đoạn \( CM \).

Như vậy, từ các chứng minh trên, ta có \( AMCN \) là hình bình hành.

### Phần b
Chúng ta cần chứng minh \( BF = FE = ED \).

1. **Xét các đường thẳng song song**:
- Từ \( F \) kẻ đường thẳng song song với \( AB \) cắt \( AN \) tại \( G \).
- Vì \( AN \parallel FG \), ta có \( BF \) bằng với \( FE \).

2. **Sử dụng tính chất đoạn thẳng**:
- Vì \( C \) và \( D \) là hai điểm đối diện của hình bình hành \( ABCD \), và \( BF \) song song với \( ED \) nên ta có \( BF = ED \).

3. **Kết luận**:
\[
BF = FE = ED
\]

Như vậy các phần đã được chứng minh xong.