Để chứng minh rằng ba đoạn thẳng \( AC \), \( BD \) và \( HK \) có chung một trung điểm \( I \), ta làm như sau:

1. **Xét hình bình hành \( ABCD \)**:
- Trong hình bình hành \( ABCD \), ta biết rằng các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại điểm \( I \) và \( I \) là trung điểm của cả hai đoạn \( AC \) và \( BD \).

2. **Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \)**:
- Do \( ABCD \) là hình bình hành, ta có:
\[
AI = IC \quad \text{và} \quad BI = ID
\]

3. **Xét hình bình hành \( AKCH \)**:
- Trong hình bình hành \( AKCH \), các đoạn \( AH \) và \( KC \) cũng cắt nhau tại \( I \). Tương tự như trường hợp trên, \( I \) cũng là trung điểm của \( HK \):
\[
HI = IK
\]

4. **Kết luận**:
- Từ các lý thuyết trên, ta thấy \( I \) là trung điểm của cả ba đoạn thẳng \( AC \), \( BD \), và \( HK \).

Tóm lại, điểm \( I \) là trung điểm của ba đoạn thẳng \( AC \), \( BD \), và \( HK \) như yêu cầu.