Tìm cực trị của hàm số f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x với điều kiện

Để tìm cực trị của hàm số \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x \) với điều kiện ràng buộc \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \), ta dùng phương pháp Lagrange.

### Bước 1: Viết hàm Lagrange
Ta định nghĩa hàm Lagrange như sau:
\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \left( g(x, y) - 1 \right)
\]
với \( g(x, y) = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} \).

Thay vào biểu thức, ta có:
\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - 2x + \lambda \left( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - 1 \right)
\]

### Bước 2: Tính các đạo hàm riêng
Ta cần tính các đạo hàm riêng và đặt bằng 0:
- Đạo hàm theo \( x \):
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - 2 + \lambda \frac{x}{2} = 0 \quad (1)
\]

- Đạo hàm theo \( y \):
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + \lambda \frac{2y}{9} = 0 \quad (2)
\]

- Đạo hàm theo \( \lambda \):
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - 1 = 0 \quad (3)
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình
Từ hệ phương trình (1), (2), (3), ta có thể giải để tìm giá trị của \( x \), \( y \), và \( \lambda \).

### Bước 4: Tính ma trận Hessian
Tính ma trận Hessian của hàm \( f(x, y) \) như sau:
\[
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
\]

Ma trận Hessian là một ma trận đối xứng với các phần tử dương, cho thấy rằng hàm số có cực trị tối thiểu.

### Kết luận
Ta tìm được các giá trị \( x \), \( y \) thỏa mãn các phương trình, và có thể xác định cực trị của hàm số tại các điểm đó.