Để tính góc \( \angle ADB \) trong tam giác \( ABC \) với thông tin là \( B - C = 40^\circ \), ta áp dụng định lý liên quan đến góc ngoài và góc trong của tam giác và tính chất của tia phân giác.

Giả sử:
- Góc \( B = b \)
- Góc \( C = c \)

Theo đề bài, ta có:

\[
b - c = 40^\circ
\]

Tia phân giác \( AD \) chia góc \( A \) thành hai góc \( \angle BAD = x \) và \( \angle CAD = y \). Theo định lý tia phân giác, ta có:

\[
\frac{b}{c} = \frac{x}{y}
\]

Tại đây, ta cần biểu diễn \( b \) và \( c \) với \( x \) và \( y \).
Vì tam giác \( ABC \) có tổng ba góc bằng \( 180^\circ \), ta có:

\[
\angle A + b + c = 180^\circ \implies \angle A = 180^\circ - (b + c)
\]

Gọi góc \( A = \angle A \). Ta có:

\[
\angle ADB = 90^\circ - \frac{b - c}{2} = 90^\circ - \frac{40^\circ}{2} = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ
\]

Vậy:

\[
\angle ADB = 70^\circ
\]