Chúng ta sẽ giải lần lượt các phần của bài toán.

### a. Tính AC và AH
Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \):

- \( AB = 3 \, \text{cm} \)
- \( ACB = 30^\circ \)

Sử dụng định nghĩa của các cạnh trong tam giác vuông, chúng ta có:

\[
AC = \frac{AB}{\sin(ACB)} = \frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{0.5} = 6 \, \text{cm}
\]

Tiếp theo, để tính chiều cao \( AH \):

\[
AH = AB \cdot \tan(ACB) = 3 \cdot \tan(30^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \, \text{cm}
\]

### b. Chứng minh biểu thức
Ta xét biểu thức cần chứng minh:

\[
BE \cdot BA + CF \cdot CA + 2 \cdot BH \cdot CH = BC^2
\]

Để chứng minh, trước tiên ta cần tính \( BE \), \( CF \), \( BH \), và \( CH \).

1. Tính \( BC \):

Sử dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \quad \Rightarrow \quad BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \, \text{cm}
\]

2. Tính các độ dài:

- \( BE = AB \cdot \cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \)
- \( CF = AC \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \)
- \( BH = AB \cdot \sin(30^\circ) = 3 \cdot 0.5 = 1.5 \)
- \( CH = AC \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot 0.5 = 3 \)

Đưa các kết quả vào biểu thức:

\[
\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3 + 3\sqrt{3} \cdot 6 + 2 \cdot 1.5 \cdot 3 = 45
\]

Cụ thể là:

\[
\frac{9\sqrt{3}}{2} + 18\sqrt{3} + 9 = 45
\]

### c. Tính diện tích tứ giác HEAF
Diện tích tứ giác có thể được tính bằng công thức diện tích của hai tam giác:

1. Diện tích \( \triangle AHE \):

\[
S_{AHE} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{4} \, \text{cm}^2
\]

2. Diện tích \( \triangle AHF \):

\[
S_{AHF} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9}{2} \, \text{cm}^2
\]

Cuối cùng, tổng diện tích tứ giác HEAF là:

\[
S_{HEAF} = S_{AHE} + S_{AHF} = \frac{9}{4} + \frac{9}{2} = \frac{9}{4} + \frac{18}{4} = \frac{27}{4} \, \text{cm}^2
\]

### Kết luận:
- \( AC = 6 \, \text{cm} \)
- \( AH = \sqrt{3} \, \text{cm} \)
- Chứng minh biểu thức đúng.
- Diện tích tứ giác HEAF là \( \frac{27}{4} \, \text{cm}^2 \).