Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh \( AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 \)

Trong tứ giác ABCD với hai đường chéo AC và BD vuông góc tại điểm O, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác hình thành từ các đường chéo.

1. **Tam giác AOB**:
\[
AB^2 = AO^2 + OB^2
\]

2. **Tam giác COD**:
\[
CD^2 = CO^2 + OD^2
\]

3. **Tam giác AOD**:
\[
AD^2 = AO^2 + OD^2
\]

4. **Tam giác BOC**:
\[
BC^2 = BO^2 + CO^2
\]

Từ hai tam giác AOD và BOC, ta có:
\[
AD^2 + BC^2 = (AO^2 + OD^2) + (BO^2 + CO^2)
\]

Kết hợp với hai phương trình trên, ta có:
\[
AB^2 + CD^2 = (AO^2 + OB^2) + (CO^2 + OD^2) = AO^2 + OB^2 + CO^2 + OD^2
\]

Từ đó có thể đi đến kết luận:
\[
AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2
\]
Như vậy, ta đã chứng minh được kết quả.

### b) Tính độ dài CD với \( AD = 5 \, \text{cm}, AB = 2 \, \text{cm}, BC = 10 \, \text{cm} \)

Sử dụng công thức đã chứng minh ở phần a:
\[
AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2
\]
Thay các giá trị vào:
\[
2^2 + CD^2 = 5^2 + 10^2
\]
Tính từng phần:
\[
4 + CD^2 = 25 + 100
\]
\[
4 + CD^2 = 125
\]
Giải phương trình:
\[
CD^2 = 125 - 4
\]
\[
CD^2 = 121
\]
Lấy căn bậc hai:
\[
CD = 11 \, \text{cm}
\]
Kết quả là \( CD = 11 \, \text{cm} \).