Để giải phương trình \(x^2 + 5y^2 - 4x - 4xy + 6y + 5 = 0\), chúng ta sẽ phương pháp hoàn thành bình phương. Đầu tiên, nhóm các biến lại với nhau:

\[
x^2 - 4x - 4xy + 5y^2 + 6y + 5 = 0
\]

### Bước 1: Nhóm và hoàn thành bình phương

Xét nhóm \(x\) trước:

\[
x^2 - (4 + 4y)x + (5y^2 + 6y + 5) = 0
\]

Áp dụng công thức thể hiện nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{(4 + 4y) \pm \sqrt{(4 + 4y)^2 - 4(1)(5y^2 + 6y + 5)}}{2}
\]

### Bước 2: Giải phương trình

Tính toán dưới dấu căn:

\[
(4 + 4y)^2 = 16 + 32y + 16y^2
\]

\[
-4(5y^2 + 6y + 5) = -20y^2 - 24y - 20
\]

Kết hợp lại:

\[
16y^2 + 32y + 16 - 20y^2 - 24y - 20 = -4y^2 + 8y - 4
\]

### Bước 3: Điều kiện của nghiệm

Xét cho phương trình có nghiệm:

\[
-4y^2 + 8y - 4 \geq 0
\]

Chia cả phương trình cho -4:

\[
y^2 - 2y + 1 \leq 0
\]

Phương trình trở thành \((y-1)^2 \leq 0\) dẫn đến \(y = 1\).

### Bước 4: Tính giá trị của \(x\) với \(y = 1\)

Thay \(y = 1\) vào phương trình ban đầu:

\[
x^2 + 5(1)^2 - 4x - 4(1)x + 6(1) + 5 = 0
\]

\[
x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x - 4)^2 = 0 \implies x = 4
\]

### Bước 5: Tính giá trị của biểu thức \(P\)

Giờ \(x = 4\) và \(y = 1\):

\[
P = (4 - 3)^{2023} + (1 - 2)^{2023} + (4 + 1 - 5)^{2023}
\]
\[
= 1^{2023} + (-1)^{2023} + 0^{2023}
\]
\[
= 1 + (-1) + 0 = 0
\]

### Kết luận

Giá trị của \(P\) là:

\[
\boxed{0}
\]