Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 + 2y^2 - 2xy + 2x - 6y + 2028 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương cho các biến \( x \) và \( y \).

Biểu thức có dạng:
\[
A = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 6y + 2028
\]

Chúng ta nhóm lại các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \):
\[
A = (x^2 - 2xy + 2y^2) + (2x - 6y) + 2028
\]

### Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( x^2 - 2xy + 2y^2 \)

Chúng ta có thể viết lại \( x^2 - 2xy + 2y^2 \) dưới dạng:
\[
x^2 - 2xy + 2y^2 = (x - y)^2 + y^2
\]

### Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( 2x - 6y \)

Ta viết lại \( 2x - 6y \) là:
\[
2x - 6y = 2(x - 3y)
\]

### Bước 3: Kết hợp lại

Bây giờ chúng ta thử tìm nghiệm riêng biệt cho \( (x - y)^2 + y^2 + 2(x - 3y) \).

Ký hiệu \( u = x - y \) và \( v = y \):
\[
A = u^2 + v^2 + 2(u + 3v) + 2028
\]

### Bước 4: Phân tích giá trị nhỏ nhất

Mở rộng biểu thức:
\[
A = u^2 + v^2 + 2u + 6v + 2028
\]

Ta sẽ xét cụ thể việc tìm cực tiểu cho từng phần.

### Bước 5: Tính các đạo hàm và giải hệ phương trình

Chúng ta cần tính:
- Đạo hàm theo \( u \):
\[
\frac{\partial A}{\partial u} = 2u + 2 = 0 \implies u = -1
\]
- Đạo hàm theo \( v \):
\[
\frac{\partial A}{\partial v} = 2v + 6 = 0 \implies v = -3
\]

### Bước 6: Thay giá trị vào biểu thức

Khi \( u = -1 \) và \( v = -3 \), tức là \( x = y - 1 \) và \( y = -3 \), nên \( x = -4 \).

Giá trị của:
\[
A = (-1)^2 + (-3)^2 + 2(-1) + 6(-3) + 2028
\]
Tính từng phần:
\[
= 1 + 9 - 2 - 18 + 2028 = 2028 - 10 = 2019
\]

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:
\[
\boxed{2019}
\]