Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm x1, x2 và tìm mối liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Để chứng minh rằng phương trình \(x^2 - 2(2m + 1)x + 3m = 0\) luôn có nghiệm \(x_1, x_2\), ta cần tính biệt thức của phương trình.

### (a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm \(x_1, x_2\) và tìm mối liên hệ giữa \(x_1, x_2\) không phụ thuộc vào \(m\).

Biệt thức của phương trình bậc 2 được tính như sau:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Với \(a = 1\), \(b = -2(2m + 1)\), \(c = 3m\):

\[
\Delta = [-2(2m + 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3m
\]
\[
= 4(2m + 1)^2 - 12m
\]
\[
= 4(4m^2 + 4m + 1) - 12m
\]
\[
= 16m^2 + 16m + 4 - 12m
\]
\[
= 16m^2 + 4m + 4
\]

Biệt thức \(\Delta\) này luôn dương vì \(16m^2 + 4m + 4\) là một đa thức bậc 2 với hệ số cao nhất dương, do đó nó có nghiệm thực (có 2 nghiệm phân biệt) với mọi giá trị của \(m\).

Mối liên hệ giữa \(x_1\) và \(x_2\) theo định lý Vieta là:

\[
x_1 + x_2 = \frac{b}{a} = 2(2m + 1)
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 3m
\]

### (b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2\).

Ta có:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
\]

Thay các biểu thức vừa tìm được vào:

\[
A = (2(2m + 1))^2 - 2(3m)
\]
\[
= 4(2m + 1)^2 - 6m
\]
\[
= 4(4m^2 + 4m + 1) - 6m
\]
\[
= 16m^2 + 16m + 4 - 6m
\]
\[
= 16m^2 + 10m + 4
\]

Tiếp theo, để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc 2 này, chúng ta sử dụng công thức:

\[
m_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot 16} = -\frac{10}{32} = -\frac{5}{16}
\]

### (c) Tìm các giá trị nguyên của m để \(B = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}\) cũng là một số nguyên.

Theo định lý Vieta, ta có:

\[
B = \frac{2(2m + 1)}{3m}
\]

Biến \(B\) này là số nguyên nếu \(2(2m + 1)\) chia hết cho \(3m\). Giải điều kiện này sẽ tìm ra các giá trị nguyên của \(m\).

### (d) Tìm \(m\) để \(\sqrt{6x_1} + 6\sqrt{x_2} - \sqrt{3x_1x_2} = 9\).

Bước này yêu cầu giải đồng thời các biểu thức và điều kiện đã tìm được ở phần trên. Bạn cần tính toán chi tiết hơn nữa để tìm ra giá trị cụ thể cho \(m\).

Trên đây là các bước cụ thể cho từng phần trong bài toán.