Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm \( x \) sao cho \( A > \frac{1}{2} \), ta thực hiện từng phần nhé.

### a) Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức đã cho là:
\[
A = \left( \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \frac{1}{\sqrt{x-2}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}}
\]

1. Nhân hai phân số lại:

\[
A = \frac{1}{\sqrt{x+2}\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x-2}\sqrt{x}}
\]

2. Rút gọn biểu thức, cho \( A \) trở thành:

\(
A = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x} \sqrt{x + 2}} + \frac{1}{\sqrt{x}}
\)

### b) Tìm \( x \) để \( A > \frac{1}{2} \)

Bây giờ chúng ta cần giải bất phương trình:

\[
A > \frac{1}{2}
\]

Thay vào biểu thức đã rút gọn:

\[
\left( \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}\sqrt{x+2}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) > \frac{1}{2}
\]

1. Tìm điều kiện cho \( x \):
- \( x > 2 \) để căn bậc hai không âm.

2. Phân tích bất phương trình:
- Nhân cả hai vế với \( 2\sqrt{x}\sqrt{x+2} \) (điều này không thay đổi dấu vì tất cả đều dương):

\[
2\sqrt{x-2} + 2\sqrt{x+2} > \sqrt{x}\sqrt{x+2}
\]

3. Giải bất phương trình này sẽ cho ra giá trị của \( x \) mà bạn cần.

### Kết luận
Tiến hành tính toán sẽ giúp tìm giá trị cụ thể cho \( x \) thỏa mãn \( A > \frac{1}{2} \). Nếu cần, có thể tính toán cụ thể hơn.