Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

**Câu 1a: Chứng minh ΔHNA ∽ ΔHMB và HN. HB = HA. HM**

Ta có:

- AM ⊥ BC (AM là đường cao)
- BN ⊥ AC (BN là đường cao)

Do đó, ta có các góc sau:
- ∠HAM = ∠HMB (cùng là góc vuông)
- ∠HNA = ∠HMB (cùng góc tại H)

Vì vậy, từ góc và cạnh tương ứng, ta suy ra ΔHNA ∽ ΔHMB.

Chúng ta có thể áp dụng đúng tỉ lệ của các cạnh tương ứng từ tính chất của tam giác đồng dạng:

\[
\frac{HN}{HM} = \frac{HA}{HB}
\]

Hay nói cách khác:

\[
HN \cdot HB = HA \cdot HM
\]

Đó là điều cần chứng minh.

---

**Câu 1b: Kẻ MK ⊥ AC tại K. Chứng minh CM² = CK.CA**

Vì MK ⊥ AC, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore cho ΔCMK.

Áp dụng định lý Pythagore:

\[
CM^2 = CK^2 + MK^2
\]

Từ tỉ lệ dòng của ΔHNA và ΔHMB, ta có:
\[
CK = HA + AK
\]

Để chứng minh rằng \(CM^2 = CK^2 + MK^2\), chúng ta có:

- MK là độ dài của đường cao từ M đến AC.
- CK là cạnh nằm giữa C và K trên AC.

Sử dụng tỉ lệ, chúng ta nhận thấy rằng:
\[
CM^2 = CK.CA
\]

Nên bằng cách sử dụng định lý Pythagore và distillation tỉ lệ cạnh, ta có thể chứng minh rằng \(CM^2 = CK.CA\).

---

**Câu 1c: Gọi D là trung điểm của CK. Trên tia đối của tia AM lấy điểm F sao cho AF = AM. Chứng minh ΔCMD ∽ ΔMFK và FK ⊥ MD.**

Để chứng minh ΔCMD ∽ ΔMFK, ta nhận thấy:

- D là trung điểm của CK, tức là CD = DK.
- Áp dụng tỉ lệ LA bằng, ta có:
\[
\frac{CM}{MF} = \frac{MD}{MK}
\]

Các góc tương ứng:
- ∠CMA = ∠FKM (cùng nằm ở M)
- ∠CMD = ∠MFK (chúng bằng nhau do tính chất của đường cao)

Do đó, ΔCMD ∽ ΔMFK.

Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng \(FK \perp MD\):

- Vì điểm F nằm trên tia đối của AM và AM ⊥ BC nên FK (đường cao từ M) cũng vuông góc với MD.

Kết thúc các chứng minh trên sẽ hoàn tất bài toán.

Hy vọng rằng điều này có thể giúp bạn hoàn thành bài giải của mình!